Задание
Функция y = f(x) определена на интервале (a; b). Найдите область определения функции
и опишите, как будет выглядеть её график, если a < 0 < b .
Решение
Для удобства введём следующее обозначение:
Сначала имеет смысл рассмотреть функцию
g(x) = (x + |x|)/2
Раскроем для этого модуль:
Для наглядности график g(x) изображён на рис. 1.
Заметим, что с учётом введённых обозначений
G(x) = f(g(x))
и
g(0) = (0 + |0|)/2 = 0
Исходная функция y = f(x) по условию задачи определена в точке x = 0 и имеет некоторое значение, равное f(0), при этом G(0) = f(0).
Рассмотрим сначала поведение функции G(x) на интервале (0; b). Так как на нём x > 0, то (x + |x|)/2 = x и G(x) = f(x). Иными словами при положительных значениях аргумента поведение G(x) ничем не отличается от поведения f(x), в том числе G(x), как и f(x), определена при x ∈ (0; b)
При любых отрицательных значения x значение g(x) всегда равно нулю, поэтому
G(x) = G(g(x)) = G(0) = f(0)
Это приводит к тому, что G(x) определена при любом отрицательном значении аргумента, а график её при этом представляет параллельную оси абсцисс прямую линию y= f(0).
Таким образом получается, что функция G(x) определена при x < b, при положительных значениях аргумента её график совпадает с графиком f(x), а в остальных случаях представляет прямую y = f(0).
Ответ
Функция y = f((x+|x|)/2) определена при x ∈ (–∞; b), при положительных значениях аргумента её график совпадает с графиком f(x), а в остальных случаях он есть прямая y = f(0).
Комментарий
В указанный в условии задачи промежуток (a; b) входит полуинтервал [0; b) и в случае функции, определённой на нём, представленные в ответе выводы также оказываются справедливыми. Как и в случае задачи с f(x) и f(|x|) (см. упражнение А-72) результаты разобранного задания могут быть обобщены до следующего правила: если функция y = f(x) определена при x = 0, то график функции y = f((x+|x|)/2) при x ⩽ 0 представляет собой линию y = f(0), а при положительных значениях аргумента совпадает с графиком f(x). На рис. 2, 3 приведены два иллюстрирующих это примера.
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik