Задание
На рисунке изображён график функции (A, B, C – положительные величины):
Он пересекает ось абсцисс в точках (–m; 0) и (m; 0), а на отрезке значений аргумента [–n; n] параллелен оси абсцисс – там y(x) имеет постоянное значение, равное k. Выразите величины коэффициентов A, B и C через числа m, n, k.
Решение
Рассмотрим поведение y(x). Эта функция является чётной, так как при замене x на –x её значение не меняется:
y(–x) = A·|–x + B| + A·|–x – B| – C = A·|–(x – B)| + A·|–(x + B)| – C =
= A·|–(x – B)| + A·|–(x + B)| – C = A·|x – B| + A·|x + B| – C = y(x)
Одно подмодульное выражение в y(x)меняет знак при x = –B, а другое – при x = B. В связи с этим раскроем модули, рассмотрев три числовых промежутка значений аргумента: (–∞; –B), [–B; B), [B; +∞). Имеем:
y(x) = A·|x + B| + A·|x – B| – C ⇔
Полученные результаты согласуются с видом графика y(x), приведённом в условии задачи, и объясняют почему он имеет вид «тупоносой галки»: при x < –B функция совпадает с линейной функцией y = –2A·x – C , а при x > B – c y = 2A·x – C , кроме этого при x ∈ [–B; B] она постоянна. Из этого напрямую следует, что B = n, для нахождения A и С подставим координаты точек (n; k) и (m; 0) в выражение y = 2A·x – C и получим систему из двух уравнений:
(1): k = 2A·n – C
(2): 0 = 2A·m – C
Из второго уравнения получается, что C = 2A·m . Подставляем его в первое уравнение и находим A:
k = 2A·n – 2A·m ⇔ k = 2A·(n – m) ⇔
Отсюда
Таким образом график функции будет проходить через заданные в условии задачи точки, когда её выражение имеет вид
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik