Классические теоремы, интересные результаты, любопытные концепции: интересное из мира математики. Обновлено 15.10.2023. Подразделы: Матанализ, ТФКП, Основания математики, Функциональный анализ, Тензоры, Алгебра и теория чисел. Сюда же решил добавить геофизику. Более ста заметок в рубрике! А тут путеводитель по всему каналу. Геометрия и топология Основания математики Матанализ: бесконечно-малые, производные и интегралы, и оптимизация Дифференциальные и разностные уравнения Комплексный анализ Бесконечномерные пространства Тензоры и механика Алгебра и теория чисел Геофизика и науки о Земле Путеводитель по всему каналу
Классические теоремы, интересные результаты, любопытные концепции: интересное из мира математики. Обновлено 15.10.2023.
Подразделы: Матанализ, ТФКП, Основания математики, Функциональный анализ, Тензоры, Алгебра и теория чисел. Сюда же решил добавить геофизику. Более ста заметок в рубрике! А тут путеводитель по всему каналу.
Геометрия и топология
- Аксиоматика геометрии: как работает аксиоматический метод
- Неевклидовы геометрии: что будет, если попробовать поменять аксиомы Евклида на какие-нибудь другие
- Теорема о причесывании ежа: можно ли задать на сфере невырожденное касательное поле, и почему нет
- Неожиданности на сфере: немного сюрпризов от самой простой формы, кроме плоскости.
- Забавный многомерный этюд. Шары в кубе в многомерном пространстве. Как может "маленький" шар быть больше "большого"?
- Топология, пространства, вложения. Первая из серии заметок по топологии. Как близко от нас многомерное пространство?
- Карты, атласы, многообразия. Небольшое введение в топологию гладких многообразий
- Ликбез о размерности. Что такое "размерность" простыми словами.
- Размер ноги призрака. Про объекты, которых нет, но формулы работают.
- Теорема косинусов. Немного о хорошо известной теореме.
- Что такое "прямо". Парадокс на примере хорошо известного туннеля
Основания математики
- О бесконечности: теория Кантора
- О разных способах ввести бесконечность
- Парадокс Банаха-Тарского: можно ли разрезать апельсин на (хитрые) дольки и собрать из них два апельсина того же размера. Нельзя? А точно?))
- HSI-проблема Тарского: сюрприз аксиоматики в арифметике. Четыре действия арифметики замкнуты, все выводится. А если добавим степень?
- Гипотеза континуума: немного проясним, в чем же там дело
- Аксиома выбора: можно ли выбрать элемент из непустого множества, и с чем могут быть проблемы
- Парадокс Рассела и аксиомы Цермело-Френкеля: как в "наивной" теории возникают парадоксы и почему их нет в строгих теориях
- Числовые системы: построение. Как построить "числа" и есть ли предел на этом пути, и есть ли развилки
- О логике. Небольшое эссе о формальной логике и как она связана с бытовой.
- К чему приводят банальности. Как вывести многое почти из ничего.
- Головоломка Пятнашка: иллюстрация метода инвариантов
Матанализ: бесконечно-малые, производные и интегралы, и оптимизация
- О космических скоростях — как выводятся первая и вторая космические скорости. Пример работы с бесконечно малыми и с интегралом по кривой
- Градиент и оптимизация — элементарное введение
- Оптимизация с ограничениями: метод Лагранжа: как решать задачу на максимум при соблюдении условия
- Оптимизация и устойчивость: как оптимизация портит устойчивость
- Суммирование расходящихся рядов: несколько способов приписать сумму ряду, у которого суммы нет. И чтобы это было разумно! Ну, или хоть непротиворечиво.
- Степени и корни в комплекной плоскости: как считать и почему нет парадоксов
- Про теорему Римана об условно сходящихся рядах. Полезная вещь, о чем еще будут материалы.
- Кривые второго порядка: небольшое введение
- Конические сечения: аналитическое доказательство. Почему в сечении конуса плоскостью получаем эллипс, параболу или гиперболу.
- О вычислении потенциала произвольного распределения плотности
- Гиперболические функции и их свойства
- Теорема Нетер и законы сохранения
- Симметрии и что они могут дать
- Условно сходящиеся ряды и теорема Римана: зависит ли сумма от порядка слагаемых?
- Как вычислить площадь эллипса при помощи дивергенции. Но и про саму дивергенцию немного
- Шутки про полином. Подборка забавных этюдов про многочлены.
- Финитные функции: невозможное возможно! Как устроены бесконечно гладкие и при этом равные нулю вне некоторого отрезка функции? И как могут они вообще существовать?
- Задачка о стрелках часов. Сколько раз в сутки стрелки совпадают? А перпендикулярны?
- Принцип сжимающих отображений. Классическая теорема о неподвижной точке.
- Экспонента. Что такое и почему так часто.
- О скорости роста. Немного о понятии скорости роста функций.
- Что такое P vs NP. Популярное пояснение о сложности переборных задач.
- Вариация и цепная линия. Введение в вариационную технику
- Как доказать, что у круга максимальная площадь. Разные подходы.
- Задача про башню. Классика оптимизации.
Дифференциальные и разностные уравнения
- Уравнение Циолковского: дифуры и бесконечно малые, красивый и простой пример
- Задача о мотыльке. Почему мотылек летит на свет?
- Задача о лодке. Как можно двигаться бесконечно долго и пройти конечный путь.
- Задачки про сражения. Модель битвы.
- Теплопроводность и консервативность. Может ли у выведенного из законов сохранения уравнения быть нарушающие этот закон решения?
- Ряд Фибоначчи и иррациональные кролики. О методах решения уравнений и целочисленных формулах с нецелочисленными частями.
- Задачка про бочку и ром. С песней!
- Из лисьего трактата о преследовании зайцев
Комплексный анализ
- Универсальность дзета-функции Римана: удивительный результат! Если подвигать и масштабировать дзету, можно аппроксимироват с любой точностью любую функцию(!)
- ТФКП: аналитические функции. Что это за они и за что мы их любим
- ТФКП: об особых точках. У аналитической функции, если она не константа, всегда есть особые точки, конечные или бесконечная.
- ТФКП: аналитическое продолжение. Аналитическая функция определена везде, где можно, ее область определения присуща ей как свойство.
- ТФКП: ряды Лорана. Как разложить функцию в ряд по целым степеням и что он нам даст
- Откуда берутся комплексные числа в реальных задачах
- Как вычислять элемнтарные функции комплексного аргумента . экспонента, синус и косинус, тангенс, обратные к ним.
- Почему экспонента это не "е в степени икс" . Тонкости теории аналитических функций.
- Загадка арксинуса: особых точек нет, а радиус сходимости единица.
- Римановы поверхности. Что это такое и на что похоже?
Бесконечномерные пространства
- Феномен L1 — об одном удивительном и малоизвестном аппроксимационном свойстве: при достаточно малом по мере носителе функции ее наилучшей аппроксимацией из данного линейного подпространства будет нуль.
- Введение в обобщенные функции: как обобщить понятие функции, чтобы "все было можно". Бесконечномерны пространства обобщенных функций, сами они вполне себе одной/двух/трех переменных.
Тензоры и механика
- Тензорный анализ и Риманова геометрия. Для подготовленных, но либо не изучавших, либо изучавших, но ничего не понявших.
- Про тензоры попроще. Но так просто, как хотелось — не получилось.
- Немного классической механики. Ньютонов подход.
- Бен Ганн, дублоны и энергия. Немного о законах сохранения и про пиратов.
- Энергия, ИСО и упругий удар. Закон сохранения энергии при смене системы отсчета.
- Упругий удар и система отсчета. Как быть, если система все-таки не инерциальна, но очень хочется?
- Вечные двигатели и невечная энергетика. Небольшой обзор, что к чему.
Алгебра и теория чисел
- Сексуальные числа. Особо прошу зайти и прочесть, так как глупые роботы Дзена сначала заблокировали статью, а потом решили не продвигать. Никакой эротики нет, увы.
- Что такое группа? Введение в понятия теории групп.
- Фокусы с делимостью. Немного фокусов и Гарднера и не только, с пояснениями.
Геофизика и науки о Земле
- Про силу Кориолиса и ее проявления
- Еще про силу Кориолиса: циклоны и приметы
- Гравитационные волны и гравитационные волны: пример научной омонимии
