Неединственность решения - кошмарный сон прикладного математика. Конечно, есть ситуации вроде равного нулю определителя, когда система уравнений либо не имеет решений (как 0х=1), либо имеет бесконечно много (0х=0), в которых всё понятно. Дифференциальные или разностные уравнения имеют много решений изначально, но их и решают вкупе с граничными условиями, а у такой задачи решение должно быть единственное.
Но вот ситуации, когда дифференциальное уравнение с начальным условием имеет много решений, выглядят дико.
Почему? Потому что дифференциальное уравнение описывает некий процесс, во времени, например. Начальное условие задает начальное положение, состояние этого процесса. Процесс как-то развивается, и здесь не может быть вилок. Или может?..
Оговорюсь, что мы не рассматриваем краевые задачи, в которых всяко бывает без всякой дичи. Например, уравнение y''+y=0 с краевыми условиями y(0)=0, y(2п)=0 имеет много решений вида Сsin(x).
Теорема Пикара, которую мы уже обсуждали, гарантирует существование и единственность решения задачи Коши (уравнение с начальным условием), но, возможно, лишь в некоторой окрестности начального положения. Но не всегда, а если правая часть не слишком быстро растет. Достаточно, чтобы у правой части была непрерывная ограниченная производная.
Есть теорема Пеано, которую мы скоро докажем, и она гарантирует существование решения такой задачи при любой непрерывной правой части. Но не гарантирует единственность.
Получается, что если правая часть непрерывна, но имеет неограниченную производную, то решение может быть неединственным. И это так, вот пример:
y'=2√y, y(0)=0.
Решить уравнение несложно. Производная есть y'=dy/dx. Разделим переменные:
и возьмем интеграл от левой и правой части. Получим y = (x+C)². С произвольной постоянной C. Подставив начальное условие, получим решение y=x², которое прекрасно удовлетворяет начальному условию и самому уравнению.
Однако как быть с решением y=0, которое тоже удовлетворяет им обоим?
Чтобы усилить накал, добавим вещь чуть менее общеизвестную: решениями будут функции, равные нулю при x<A, где A - любое положительное число, и равные (x-A)² при остальных x. Аналогично, решениями будут функции, равные нулю при x>-B для любого положительного B и равные (x+B)² левее. Кроме того, решением будет и комбинация, равная нулю между -B и A и совпадающая с одним из решений выше левее и правее этого интервала.
Давайте придадим уравнению физический смысл. Пусть к спидометру автомобиля присоединено устройство, подающее тягу (силу), пропорциональную корню из мгновенной скорости. По второму закону Ньютона, скорость будет меняться так, как описывает уравнение. В начале скорость равна нулю.
С одной стороны вроде бы ясно, что автомобиль будет покоиться. Скорость нуль, ускорение нуль, никто никуда не едет. Однако он может и поехать, набирая скорость по закону t²: корень равен t, производная скорости (ускорение) тоже пропорционально t, уравнение работает, начальное условие выполнено тоже. И это устройство может начать работать в любой момент: автомобиль покоится, покоится, и вдруг уже едет.
Если вы не осознали дикость ситуации, то прочитайте заметку сначала. Это не неустойчивость решения, при которой малые отклонения вначале приводят к большим различиям довольно скоро! Это реальные точные решения! Но их много, и какое будет выбрано (и кем?), совершенно неясно.
Давайте попробуем решать численно. Возьмем схему Эйлера, при которой мы приближаем производную разностью "после одного шага минус сейчас":
Y(i+1) = Y(i) + 2h√Y(i), Y(0)=0.
Здесь h - шаг времени. Ясно, что такая схема даст нулевое решение: справа все слагаемые нули, слева тоже нуль, и далее по индукции.
Но возьмем взамен неявную схему, приблизив производную разностью "сейчас минус шаг назад":
Y(i) = Y(i-1) + 2h√Y(i), Y(0)=0.
Здесь всё не так прямолинейно, но делается. Подставив Y(0)=0 при i=1, получим
√Y(i) = 2h, или Y(i) = 4h². Правда, вторым корнем будет как раз нуль.
Какой же корень выбрать? Если полагаться на "арифметический корень", то есть положительное значение, то получим ненулевое решение.
Эта схема проливает свет на природу возникновения двух решений сразу.
Но кто-же всё-таки будет выбирать значение корня в нашем гипотетическом устройстве обратной связи?