Отвечаю на вопрос к статье про аксиому выбора: какие аксиомы теории множеств (система Цермело-Френкеля) разрешают парадокс Б. Рассела?
Парадокс Рассела, если кто не помнит, таков: назовем множество нормальным, если оно само себя не содержит в качестве элемента. Те, которые содержат себя, соответственно, ненормальные. Нормально ли множество всех нормальных множеств? Если нормально, то оно себя не содержит, а значит оно не входит в множество всех нормальных и потому ненормальное; если же оно ненормально, то оно должно содержать себя.
Парадокс перекликается с парадоксом брадобрея --- солдата, который обязан брить всех, кто сам брить себя не умеет. Как бы он не поступил (бриться или не бриться), он нарушит приказ.
В число аксиом ZF (сокращение от Цермело-Френкеля) входят (но не исчерпывают!) следующие две аксиомы:
- Аксиома пары: для любых двух множеств А и В существует множество {A,B}, которое содержит только A и B.
- Аксиома фундирования: в любой системе множеств есть множество, которое не содержит других множеств этой системы.
Обсудим эту последнюю. Если мы возьмем множества A и B и добавим к ним множества {A}, {B}, {A,B}, {{A}, B} и так далее, то имеются множества (А и В), которые других множеств нашего семейства не содержат. (Запись {A} --- это множество, содержащее элемент А). Если мы посмотрим на элементы этих А и В, то семейство расширится, но все равно все должно закончиться на каком-то шаге: либо множеством, которое других множеств этого семейства (!) не содержит, либо пустым множеством.
Теперь докажем, что множество в смысле системы аксиом ZF не может содержать себя в качестве элемента.
Возьмем любое множество А. По аксиоме пары, существует множество, содержащее А и В=А, то есть {A}. В этом множестве один элемент, это множество А (а что в нем, нам безразлично).
В семействе А, {A} должно быть, по аксиоме фундирования, множество, которое множеств семейства не содержит. Множество {A} содержит А; поэтому А не может содержать ни {A}, ни само себя.
Quod erat demonstrandum.
Парадокс Рассела разрешается уже тем, что ненормальных множеств у ZF нет вообще; а множество всех нормальных (то есть, множество всех множеств вообще) --- не множество, ибо содержит себя в качестве элемента.