Продолжение записок штурмана Билли Бонса. Душераздирающую историю с пробитой бочкой я уже рассказал. И мы рассчитали время, за которое вытечет ром из пробитой бочки. Но ведь пираты постараются спасти напиток, отчерпывая его сверху! Скорость отчерпывания известна, но сколько рома они успеют спасти? Как зависит объем спасенного рома от скорости отчерпывания? Насколько нелинейна эта зависимость? То есть, удвоение усилий означает ли удвоение результата?
Итак, характеристики бочки: форма цилиндра, площадь основания S, высота Н, площадь дырки s, ускорение свободного падения g. Скорость отчерпывания w, измеряется в единицах объема в секунду. Текущий уровень жидкости h. Скорость v истечения жидкости (в единицах длины в секунду) пропорциональна корню из 2gh. Коэффициент пропорциональности σ=0.6.
За малое время dt уровень сильно не изменится, так что скорость струи v почти постоянна и уносит vsdt единиц объема. Пираты же отчерпывают wdt единиц объема. В итоге объем падает на (vs+w)dt, а это отвечает снижению уровня жидкости на dh:
Sdh = -(sσ√(gh) + w)dt
Стоит сделать замену h=z², dh=2zdz и прийти к
2Szdz = -(zsσ√g + w)dt
В этом уравнении можно разделить переменные и вопрос только во взятии интегралов. Они несложные. Получаем
Выразить отсюда h, конечно, не получится. Но мы знаем, что она меняется от H до нуля, и можем построить график. Параметры бочки: g=400, s=1, S=1963, H=64, всё в дюймах и секундах.
При этом пираты спасут 38%, 54% и почти 70% рома. И процесс займет, как видно из графика, 7, 11 и 16 минут. А без дырки в бочке пираты в таком темпе вычерпали бы ром за 10.5, 21 и 42 минуты.
Время T опорожнения бочки получается подстановкой h=0:
Любопытен предел при стремлении w к бесконечности, то есть при очень быстром отчерпывании рома. Можно применить замечательный предел и прийти к T~√H-√H=0, что и понятно: быстро всё отчерпают, и хорошо. Но стремление медленное, а предел, например, величины wT, который равен объему бочки SH (всё и отчерпают мгновенно), вычислить вообще не так просто.
А медленное потому, что там логарифм.
Зависимость времени T от скорости отчерпывания w можно получить, и она весьма нелинейна. См. график.
Такой характер зависимости - сначала быстрый рост, потом очень медленный - может быть важен в задачах оптимизации. Если увеличенение скорости отчерпывания небесплатно и связано с издержками, то поначалу даже большие издержки оправдываются выгодой от спасенного рома, а вот потом даже малые затраты уже не компенсируются, так как отдача слишком низка. Правда, и цена рома будет расти...
Я думаю, что реалистичная скорость - порядка 50 куб.дюймов в секунду. В литре примерно 64 куб.дюйма, чуть больше секунды, чтобы черпануть литр рома и уступить место следующему - правдоподобно. При этом будет спасено примерно 40% бочки. За четверть часа. В бочке около двух тысяч литров примерно, то есть пираты спасут около восьмисот литров минут за пятнадцать. Если их человек полсотни, то это шестнадцать литров на рыло в целом или литр на рыло в минуту - напряженный график...
А чем ещё заняться штурману, если курс ясен, а рома больше нет?
Если вы смеетесь над глупым Билли, которому делать нечего, поразмыслите, не такова ли зависимость, например, для нефти?