Привет, друзья. Тему аксиоматических теорий на примере геометрии мы уже обсуждали, но посмотрим на нее с другой стороны, а за небольшие повторы прошу моих старых читателей меня извинить.
Итак, есть среди аксиом-постулатов планиметри Евклида пятый, о параллельных, который утверждает, что "через точку вне данной прямой можно провести прямую, не пересекающую данную, причём только одну".
Шутка на тему "можно провести ровно одну прямую (а криво — сколько вздумается)" — хороша.
Речь, конечно, о плоскости (планиметрия).
Увлекательная история попыток доказать эту аксиому (чтобы она стала теоремой) на базе других аксиом и установления независимости аксиомы от прочих — хорошо известна. Попробуем проследить, что вообще происходит, если мы попробуем заменить эту аксиому другой.
Первый вариант: "нельзя провести", то есть "любые две прямые пересекаются". Хороший вариант, вроде бы, но приводит к противоречию с другими аксиомами. Из точки можно опустить перпендикуляр на прямую, потом к нему провести перпендикулярную прямую. Если она пересекает исходную прямую, то из-за симметрии пересечений будет два, а тогда прямые должны совпадать.
Получается интересное: аксиома такая противоречит другим и потому утверждение "через точку вне данной прямой можно провести прямую, не пересекающую данную" является теоремой. А вот одну или больше — это через другие аксиомы не выражается.
А ведь сразу не бросается в глаза противоречивость, правда? Можно долго жить спокойно, доказывать теоремы, в том числе и странные, а потом...
Однако можно спасти ситуацию, подправив другие аксиомы. В частности, аксиома "через две точки можно провести одну и только одну прямую" надо заменить на "через две точки можно провести прямую, причём только одну, если точки расположены не слишком далеко".
Такая геометрия уже имеет право на существование. Фраза "не слишком далеко" подразумевает некоторый параметр размерности длины, относящийся к геометрии в целом. Характеристика плоскости, на которой рассматриваем геометрию. Тогда теряет смысл само понятие длины, так как все длины можно выражать в угловой мере, относительно этого фундаментального масштаба. И пропадает разница между длинами и углами. В частности, треугольник определяется не только тремя сторонами, но и тремя углами. У Евклида, если мы знаем углы, то знаем о треугольнике всё с точностью до постоянного множителя размерности длины. Это называется "подобие". А теперь мы просто знаем всё, так как фундаментальная длина вшита в саму структуру геометрии.
Интересно.
Можно определить понятие кривизны (исключительно средствами геометрии, без каких-либо внешних сущностей) и установить, что наша "плоскость" обладает кривизной: во всех точках одной и той же, положительной, и именно обратная к корню из кривизны величина (радиус кривизны) и есть тот самый фундаментальный масштаб.
Пока что мы чисто аксиоматическими методами пришли к некоей "плоскости" постоянной кривизны. Но в обычной геометрии в пространстве у нас есть поверхности постоянной положительной кривизны: это сферы. Получается, что мы построили геометрию на сфере! Практичную и полезную: это основа навигации. А фундаментальный масштаб есть радиус сферы, логично и естественно.
Что здесь я считаю важным? Две вещи: мы начали с непрактичной зауми, заменив очевидную аксиому невесть чем, да еще обошли всплывшее противоречие, попортив другие аксиомы — а пришли к полезной и важной прикладной теории. И попытно выяснили, что фундаментальная длина, присущая самой геометрии, может незримо прятаться в недрах аксиом, и её не сразу и выловишь.
Теперь посмотрим на второй вариант: вариант Лобачевского. Аксиома звучит так: "через точку вне данной прямой можно провести не менее двух прямых, не пересекающую данную". То, что таких прямых бесконечно много, является следствием. Параллельных из них только две, кстати. Остальные просто "не пересекающиеся с данной", а не параллельные ей.
Противоречий нет (доказано, что нет, а не "пока не нашли"), то есть можно доказывать теоремы. Но сюжет развивается аналогично геометрии на сфере. В частности, треугольник определяется тремя углами, и имеется кривизна: постоянная во всех точках, отрицательная, и тоже задающая фундаментальную длину.
Можно назвать поверхность мнимой сферой, она даже в трехмерном пространстве есть, только с особенностью, ограничивающей геометрию куском "плоскости"; но дело в другом.
Получается серия вложенных сфер с разными радиусами от нуля до бесконечности (и кривизнами от бесконечности до нуля), серия вложенных мнимых сфер, с радиусами от нуля до бесконечности и кривизнами от минус бсконечности до нуля, и евклидова плоскость между ними с нулевой кривизной.
Очень похоже на классификацию решений в космологии, но в общем-то там тоже пространства постоянной кривизны, ничего нового.
Если же настаивать на исходных постулатах Евклида, то получается просто серия плоскостей Лобачевского и предельный случай: плоскость Евклида. И она, плоскость эта, выделяется особыми свойствами: на ней нет фундаментальной длины и имеет место подобие фигур: фигуры одинаковы во всем, кроме масштаба.
Очень похоже на релятивистскую механику (только там параметр имеет размерность скорости, это с) и ньютоновскую механику как предельный случай.
Да и вообще, скорость света как вектор (u,v,w) подчинена равенству
u²+v²+w² = c ².
Это уравнение сферы в пространстве скоростей. Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу, так как скорость света не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой) и переводят прямые в прямые. Прямые в пространстве скоростей, то есть линии вроде u=2v, w=1. И получается, что в пространстве скоростей внутри этой сферы действует геометрия Лобачевского. Не то, чтобы это каждый день пригождалось, но определенный свет проливает.
Делаем выводы. Кривизна — это нормально. Она получается сама собой при некоторых непротиворечивых предположениях. Где-нибудь в пространстве скоростей, где у нас интуитивного опыта вообще нет, геометрия может быть именно такой, вот вам и фундаментальная скорость света. Да и в обычном пространстве... какие аргументы за Евклида? Только то, что в малом, в пределах Земли, вроде как выполняются аксиомы. Да и то, проверить, что "через две точки можно провести одну и только одну прямую" мы можем только на достаточно близких точках.
Правда, в реальном мире геометрию лучше описывать на языке Римана: через метрику, а не аксиоматически. Но мы сейчас не о реальном мире говорим...
