Имеет смысл познакомить желающих с потусторонней тригонометрией)) Гиперболические функции, аналогичные тригонометрическим, весьма любопытны и полезны, хотя внимания им почему-то уделяется куда меньше, чем тригонометрии.
Формально функции задаются формулами
и ничем, казалось бы, от экспоненты не отличаются. Однако за этими функциями стоит теория, аналогичная тригонометрии, только основанная не на окружности, а на гиперболе.
Начнем с того, что cosh(x)=cos(ix), sinh(x)=-isin(ix), так что это именно что "потусторонняя", мнимая тригонометрия. Тем не менее, ничего мнимого в прямом смысле слова в ней нет.
Аналог теоремы Пифагора: cosh^2(x)-sinh^2(x)=1. Не сумма квадратов, а разность. Соответственно, точка с координатами (cos(t),sin(t)) задает окружность, а (cosh(s),sinh(s)) --- гиперболу.
На окружности мы отмеряли угол длиной дуги t (при единичном радиусе). Один радиан --- это угол, которому соответствует дуга, равная радиусу. Но можно, с тем же успехом, брать площадь сектора: дуге t=A радиан соответствует площадь сектора s=А/2 (при единичном радиусе).
Для гиперболы длину брать нельзя, а площадь --- естественно. Разным углам соответствуют разные площади, ну и разные значения гиперболического косинуса и синуса.
Можно определить и гиперболический тангенс как sinh(x)/cosh(x).
Формулы аналогичны тригонометрическим, но с неожиданными изменениями знака. Так, sinh(x)'=cosh(x), но cosh(x)'=sinh(x); у обычного косинуса производная равна -sin(x).
Хочу отметить формулы тангенсов суммы:
Формула справа ничего не напоминает?
Напоминает формулу Лоренца для сложения скоростей. Дело в том, что пространство Минковского (при искривлении --- псевдориманово, это не влияет на суть) имеет метрику r^2-t^2, где r --- расстояние в трехмерном пространстве, t --- интервал времени, а скорость света принята за единицу. Наклон кривой, который в евклидовом пространстве определяется тангенсом угла наклона, в этом псевдоевклидовом пространстве определяется гиперболическим тангенсом. Этот гиперболический тангенс и есть скорость, только угол надо отсчитывать от оси времени. Формула суммы скоростей --- это формула гиперболического тангенса суммы.
Видите, как все просто?
График гиперболического косинуса называется цепной линией. Почему? Потому что именно такую форму принимает тяжелая нерастяжимая нить в покое под действием силы тяжести. Точнее, это график A*cosh(x/A). Это тема отдельной заметки, но график цепной линии я приведу. Вот он.
Площадь под графиком гиперболического косинуса численно равна длине кривой, которая ее ограничивает. Довольно любопытное свойство. Пожалуй, есть смысл обсудить его поподробнее в отдельной заметке.