Сегодня я буду иметь удовольствие познакомить тебя, мой уважаемый читатель, с кривыми второго порядка, в дружной компании которых числятся эллипс, парабола и гипербола.
Такое название — кривые второго порядка — они заслуженно носят потому, что в декартовых координатах описываются уравнениями второго порядка: с квадратами и попарными произведениями переменных, но не более того. Никаких переменных в знаменателе, никаких синусов, логарифмов, экспонент и корней, и другого разврата!
Уравнения первого порядка, с натяжкой "линейные", описывают прямые линии, каковые могли бы с честью носить имя "кривых первого порядка". Они даже от попарных взаимодействий воздерживаются. Кривые второго идут следом, если судить по простоте уравнений. Хотя это дело вкуса, конечно — что насколько проще.
Тем не менее, есть о чем поразмыслить: по первому закону Ньютона, тела вне действия сил движутся по линиям первого порядка, а в гравитационном поле тяжелого тела — второго. Можно сказать, что Всевышний не особенно напрягался, проектируя сей мир. А можно справедливо заключить, что самая простая задача приводит к самым простым траекториям, а задачка чуть сложнее — к кривым чуть более сложным. Все логично.
Уравнение второго порядка может выглядеть довольно громоздко:
Но, перенося начало отсчета и поворачивая оси координат, можно свести уравнение к одному из нескольких типов. Это уравнение эллипса:
уравнение параболы
и уравнение гиперболы, которое от эллипса отличается только знаком: минус вместо плюса.
Возможны еще варианты. Например, уравнение как у эллипса, но справа -1. Решений нет, это "мнимый эллипс". Или справа нуль и тогда это одна точка. Или получится что-то вроде xy=0, и решением будет пара прямых: вырожденная гипербола.
Из уравнения видно, что эллипс, например, ограниченная фигура: при x>a решений нет, как и при y>b. А парабола ограничена с одной стороны.
Точки с абсциссами ±с, c²=a²-b² называются фокусами эллипса. Эллипс определяется как множество точек, сумма расстояний от которых до фокусов постоянна. Поэтому эллипс можно нарисовать, воткнув две булавки в лист и связав их ниткой; натягивая нить карандашом, вести по бумаге.
Изящно описываются все три кривые в полярных координатах. Уравнение уже не второго порядка, конечно:
Давайте сначала рссмотрим эллипс, который получается при 0≤ε<1. Число p называется параметром, оно описывает размер эллипса. А число ε — это эксцентриситет, который показывает вытянутость эллипса, степень его отличности от окружности. Эксцентриситет выражается через полуоси простой формулой aε=c. Параметр p=b²/a или p=a(1-ε²). Для эллипса эксцентриситет меньше единицы. Для окружности он равен нулю.
Фокальное свойство эллипса: луч, выпущенный из фокуса в любом направлении и отраженный от эллипса по правилам геометрической оптики, придет в другой фокус. Если сделать зеркало в виде эллипса и зажечь в фокусе свечу, свеча в другом фокусе может загореться. Такой фокус и дал название тому, что по-английски называется trick. По-латински focus - огонь (fuoco в итальянском).
То же касается волны: если уронить камешек в эллиптическом бассейне в фокус, волны соберутся в другом фокусе. Причем это работает даже в круглом сосуде, который эллипс (с данными фокусами) лишь очень приблизительно. Возьмите чашку с чаем и капните с ложки капельку в точку недалеко от центра: волны соберутся в симметричной точке.
Площадь эллипса πab, где a и b — полуоси. Почему — разберем в другой раз.
По эллипсу движутся легкие тела в поле тяготения тела тяжелого, если скорость легкого тела между первой и второй космической скоростью в каждой точке траектории (если неравенство выполнено в одной точке, то и во всех остальных также).
Парабола — это эллипс с единичным эксцентриситетом (ε<1). Второй фокус в бесконечности. Фокальное свойство: лучи из фокуса, отразившись, идут параллельно друг другу. И наоборот: параллельный пучок лучей, отразившись, собирается в фокусе. Это удобно для параболических антенн. И параболических линз...
Парабола определяется как множество точек плоскости, равноудаленных от фокуса и некоторой прямой, именуемой директрисой. Это очень понятно, если посмотреть на параболу в полярных координатах: расстояние до фокуса, который в начале координат, это полярный радиус r, а директриса имеет уравнение x=-D, и расстояние от точки с абсциссой X до нее равно X+D: в полярных координатах rcos(f)+D, где f — азимут. Приравнивая два расстояния, получаем уравнение параболы.
Парабола — орбита тела со второй космической скоростью (если она такая в одной точке, то и в остальных она вторая космическая для данного расстояния).
Если вращать с постоянной угловой скоростью бассейн с жидкостью, то равнодействующая центробежной силы и тяготения придаст поверхности форму параболоида. Как-нибудь решим эту задачку. Так можно легко изготовить параболическое зеркало большого диаметра: закрутить бассейн ртути, и он примет идеально параболическую форму.
Гипербола — это "эллипс" с эксцентриситетом больше единицы. Можно представить себе, что эллипс протянули через бесконечность и притащили с другой стороны.
Гипербола определяется как множество точек, разность расстояний от которых до двух фокусов по абсолютной величине постоянна.
Это орбита тел со скоростью выше второй космической. У нее есть асимптоты: прямые, которые приближают гиперболу в бесконечности. То есть, улетев далеко от планеты, тело летит почти по прямой, полностью избавившись от влияния гравитации этой планеты. Гипербола состоит из двух ветвей.
Асимптота пишется с одной С. Нет, ass — не проверочное слово.
Уравнение асимптот легко получить, если полагать x и y "большими" и поделить на x, например. В правой части единичка уйдет в нуль в пределе и получится уравнение ay=±bx.
Равнобокая гипербола, для которой a=b, задает гиперолические функции по аналогии с тригонометрическими, которые задает окружность. Только угол надо отмерять не длиной дуги, а площадью. Подробнее я уже рассказывал. И вообще, гипербола и эллипс двойственны: у эллипса по осям единицы, а у гиперболы единица и мнимая единица.
Школьная гипербола y=1/x (или xy=1) сводится к канонической равнобокой поворотом осей на 45 градусов.
Все три кривые получаются в пересечении двустороннего бесконечного конуса и плоскости — в зависимости от наклона плоскости. Поэтому они известны как конические сечения. Хотел это здесь доказать, но лучше напишу отдельную заметку.
Термины "эллиптический", "параболический" и "гиперболический" встречаются в математике очень часто: уравнения, интегралы, функции, геометрии...
Теперь немного лингвистики.
Слово "гипербола" переводится с греческого как "избыток", и это относится к эксцентриситету. В риторике тоже есть гипербола: "Я тебе тысячу раз говорила...", "Приходил сто лет назад", "у меня этих дисков миллион".
Парабола — это вроде притчи, небольшой рассказ с моралью.
Эллипс (эллипсис) — это пропуск, недостаток. "Шампанского!". "Скорую!". "Ты как? Ничего?". "Я люблю с блондинками".
В языке программирования Raku есть оператор ellipsis в виде троеточия для пока ненаписанного кода...
