Почему экспонента это не "е в степени икс"

Предлагаю затронуть более тонкие вопросы теории функций комплексной переменной. Поподробнее разобраться в понятии "аналитическая функция".

Оглавление рубрики

Наводящие вопросы, которые подсказывают, что всё не так просто, как в общеобразовательном курсе, такие:

Если степень многозначна, то почему "е в степени икс" функция однозначная?

Если степень с мнимым показателем всегда имеет много значений, то почему формула Эйлера дает только одно из них?

Это мои вопросы; подписчики, при всей въедливости, не успели их задать)) Опережаю:

Простой ответ: потому что экспонента — это не "е в степени икс".

Экспоненту можно определять разными способами, но все они эквивалентны друг другу и дают однозначную аналитическую функцию, целую (без конечных особых точек), которая определена и аналитична во всей плоскости. И значение у нее в каждой точке ровно одно.

Способы эти, например, такие. Можно продолжить аналитически экспоненту обычную, которая "е в степени икс" для положительных (или вещественных, не важно) иксов. Разложить в ряд, потом в него можно подставить любое комплексное число; определить радиус сходимости этого ряда (он бесконечный), и всё: мы можем вычислить сумму этого ряда в любой комплексной точке и получить одно конкретное значение.

Очевидно, что при почленном дифференцировании ряд будет переходить сам в себя.

Можно вернуться к определению числа е, и объявить значением экспоненты (в точке x) значение предела

Наконец, можно декларативно определить экспоненту формулой Эйлера. Она дает значение для мнимых показателей, для вещественных у нас и так правило есть, а если в показателе сумма, то соответствующие значения перемножаются. Вот и получается экспонента для любого x=a+bi

Ее лучше обозначить exp(x), а на "е в степени x". Это функция, которая целостное и неделимое образование.

А операция возведения в степень — это немного другое. У степени всегда бесконечно много значений, но иногда они могут совпадать. В том числе и все могут совпадать, как у целой степени. У корня совпадают через одно, у кубического корня — через два, у степени π или i не совпадают никакие два.

Единственное, что связывает эти два понятия: в каждой точке x значение экспоненты входит в число значений степени "е в степени x".

А что, если мы решим аналогично поступить с арифметическим квадратным корнем из положительных чисел? Аналитически продолжим его всюду, куда можно (а можно всюду, кроме точки нуль, в которой корень не аналитичен, но и там он определен и, кстати, однозначен). Аналитическое продолжение окажется неоднозначным! Круги сходимости рядов будут упираться в точку нуль, она будет на границе каждого круга. Можно взять какую-то другую точку в круге и разложить функцию в ряд в ее окрестности: новый круг сходимости выйдет за пределы старого, расширив область определения. Однако может оказаться так, что точка попадает в два разных круга двух разных разложений, и сумма этих рядов различная.

Можно взять окружность центром в нуле, это числа вида exp(it), где t от 0 до 2π. Когда t пробежит этот отрезок, точка пробежит по окружности и вернется к значению 1. Корень же из этих чисел, выраженный формулой exp(it/2), имеет разные значения на краях отрезка, то есть, в точке 1.

Вроде того. Обошли по контуру, и получили в точке 1 уже другое значение. Потому что пока x обходил круг, его корень обошел верхнюю половину. Если пройти два оборота, то корень пройдет один оборот, и значение повторится. Степень π (или е или "корень из 5"...) проходит иррациональную долю круга, поэтому никакое наматывание оборотов х целого числа кругов степени х не даст. А степень i вообще идет не по кругу (меняется модуль!!!), а по вещественной оси в сторону нуля.

Тут любопытно, что особая точка, которая может лежать сколь угодно далеко, влияет весьма существенно при обходе вокруг нее.

Если запретить обход вокруг особой точки, то функция станет однозначной. Это можно сделать, декларативно удалив из области определения, например, луч из отрицательных чисел (вместе с нулем). Это называется разрез. На берегах разреза функция имеет разные значения, одно из них можно по непрерывности продолжить на сам разрез. Получится однозначная функция, которую обычно пишут с маленькой буквы: ln(x), sqrt(x), arg(x), arctg(x). А многозначную функцию пишут с большой, чтобы сразу подчеркнуть многозначность.

Плоскость с разрезом. Специально нарисован как канал с двумя берегами, хотя, конечно, это просто разрез. Синие замкнутые кривые не могут обогнуть особую точку нуль. Не пересекая разрез, этого сделать нельзя. А без этого нет проблем со значениями!

Если мы определим функцию Exp(x) как множеств всех значений "e в степени x" при данном x, то получим многозначную функцию, со счетным списком значений в каждой точке. В некоторых (очень некоторых!) точках значения будут совпадать, все или через какой-то период. Функция эта связана с exp(x) только одним: exp(x)∈Exp(x) при каждом x.

Можно проделать хитрый трюк, превратив многозначную функцию в однозначную, но не в области определения на комплекной плоскости, а на совсем другой поверхности, поверхности Римана. О чем, пожалуй, уже в следующий раз!

Путеводитель по каналу