Бесконечные суммы называются ряды. Они могут сходиться: если частичные суммы, из первых n слагаемых (частичная сумма есть функция от n), имеют предел при n, стремящимся к бесконечности... Этот предел и называется суммой ряда.
Простыми словами, мы берем все больше слагаемых, и сумма меняется все меньше. Когда она перестает меняться в рамках принятой точности (а точность может быть любая), полученное число и есть сумма.
Отсюда сразу следует необходимый признак сходимости: сами слагаемые должны стремиться к нулю. Иначе сумма не перестанет меняться.
Однако общеизвестно, что необходимые признак достаточным не является: ряды из обратных к натуральным (1/n) и из обратных к простым (!) — расходятся.
Ряд с положительными членами либо сходится, либо "сходится к бесконечности", когда частичные суммы преодолевают любой порог. А вот если знаки разные, возможны разные варианты.
Ряд может просто расходиться, как ряд 1-1+1-1, ..., помимо вариантов выше. А может сходиться, но условно.
Условная сходимость, в отличие от условного заключения, это все-таки сходимость. Ряд сходится, но не абсолютно. А абсолютно — это по модулю, то есть без учета знака.
Иными словами, у абсолютно сходящегося ряда слагаемые убывают по модулю. Знаки у них разные, и это влияет на сумму, но даже если все поставить плюс — ряд будет сходиться.
А вот условно сходящийся ряд, у него положительные слагаемые копятся до бесконечности и отрицательные тоже, но они компенсируют друг друга так тонко, что остается конечный остаточек.
Пример: ряд из обратных к натуральным и переменными знаками, который сходится к ln(2): 1-1/2+1/3-1/4+1/5-...
Чтобы вычислить этот ряд, надо упростить задачу, рассмотрев более сложный ряд
Обозначив его сумму за f(x) и взяв производную, приходим к ряду-прогрессии (1-x+x²-x³+...), который сходится к 1/(1+x). Берем первообразную (ln(1+x)), и подставляем x=1.
Для условно сходящихся рядов есть такой результат: переменой порядка суммирования можно изменить сумму, сделав ее любой желаемой. Это теорема Римана.
Допустим, мы хотим получить 42. Берем положительные слагаемые, пока не станет больше; потом отрицательные, пока не станет меньше. Потом опять положительные... Нам всегда хватит слагаемых, потому что по-отдельности и положительные, и отрицательные копятся до бесконечности. А отличие от желаемого 42 будет не больше последнего добавленного слагаемого: а оно по необходимому признаку становится все меньше. В итоге новые частичные суммы стремятся к 42.
Менее известно, как обстоит дело для условно сходящихся комплексных рядов. Определения те же: абсолютная сходимость — по модулю, условная — если сходимость есть, но не абсолютная.
Все зависит от рядов из вещественных и мнимых частей. При условной сходимости всего ряда, оба обязаны сходиться, причем хотя бы один — условно. Если один сходится абсолютно, его сумму поменять нельзя, а сумму второго — можно. Получим любую вещественную часть при неизменной мнимой, или наоборот. То есть, сумма может быть любой точкой на горизонтальной или вертикальной прямой на комплексной плоскости.
Если же оба сходятся условно, то, меняя порядок одного, мы можем получить что угодно, а второй тем временем тоже поменяет сумму: получится прямая на плоскости, наклонная.
Теперь почему это важно, помимо эстетической ценности результата.
Первое. В вычислительном алгоритме может меняться порядок суммирования. Если вы считаете логарифм числа 2 по формуле выше, и решили поменять порядок суммирования, то можете иметь сюрпризы.
Второе. При параллельных вычислениях порядок может меняться произвольно, и это надо учитывать.
Третье. При подсчете интегралов, плоских и объемных, по бесконечным областям мы, по сути, приближаем их рядами. А вот как считать, в каком порядке — вопрос, который вопрос не одного лишь удобства, если ряд сходится условно. Кстати, для интегралов с бесконечной областью интегрирования есть аналогиные результаты.
Гравитационный парадокс (Ньютонов потенциал, создаваемый бесконечной однородной Вселенной то ли бесконечен, то ли не определен корректно) решается именно так. Об этом совсем скоро выйдет заметка!
Наконец, похожие ситуации возникают в игровых моделях. Когда все вынуждены тратить львиную долю сил на бег на месте... Но это совсем другая история!
На этом заканчиваю, но скоро вернемся к этому вопросу!
