Начнем очень интересную и важную тему с простой задачи: дана цепочка, подвешенная за два конца: какую форму она примет под действием силы тяжести?
"Примет форму" означает, что форма цепочки статична: она может ее сохранять сколь угодно долго. Это условие можно строго сформулировать по-всякому, но удобнее всего сделать это в виде минимума потенциальной энергии. В равновесном положении, да еще если это равновесие устойчиво, энергия и должна быть минимальной.
Но есть одна сложность: энергия цепочки не выражается как функция одной переменной (и двух, и трех, и вообще конечного числа переменных). Энергия цепочки зависит сразу от всех точек кривой, описывающей ее форму.
Давайте посмотрим, как именно зависит. Будем описывать цепочку функцией y(x) от горизонтальной координаты x. Маленькому отрезку отвечает отрезок кривой, квадрат длины которого есть (1+(y')²)dx².
Почему? Пояснение на рисунке. подробнее в другой раз.
Линейная плотность цепочки постоянна и может быть принята за единицу. Тогда масса кусочка равна его длине, а потенциальная энергия по формуле mgh равна
Сложив энергии каждого кусочка, получим интеграл полной энергии:
Ускорение свободного падения тоже примем за единицу: оно ни на что не влияет здесь.
Нам надо научиться находить минимум таких функционалов, присваивающих числовые значения целым кривым.
В общем виде под интегралом стоит некая функция F(x, y, y'). Допустим, что некоторая кривая y(x) доставляет локальный минимум. Тогда любая другая, которая мало отличается от данной, даст больше. Мы можем добавить к данной оптимальной любую другую h(x) с маленьким множителем ε и получить большее значение. Таким образом, интеграл от F(x, y+εh, y'+εh') обязательно больше интеграла от F(x, y, y'), по крайней мере, если ε достаточно мало.
Теперь используем дифференцируемость F:
F(x,y+εh,y'+εh') ≈ F(x,y,y') + F'(x,y,y')εh + F'(x,y,y')εh'
Получается, что интеграл от F'(x,y,y')εh + F'(x,y,y')εh' обязательно положительный. Во всяком случае, при малых ε>0. Можно применить формулу интегрирования по частям и прийти к неравенству:
Неравенство это выполнено для любых функций h(x), лишь бы h(-1)=h(1)=0, и достаточно маленьком ε>0.
Отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю: иначе можно подобрать такую h, что интеграл будет отрицательный. Получается уравнение Эйлера:
Оптимальные кривые обязаны ему удовлетворять. Ну а поскольку часто решение при данных граничных условиях всего одно, то оно и есть искомое.
Давайте для примера найдем кратчайшую кривую, соединяющую две точки. Длина кривой y=y(x) от точки x=a до x=b есть интеграл
Давайте найдем минимум этого функционала. Функция F(x,y,y') от y не зависит, так что в правой части уравнения нуль. "Снимем" производную по x интегрированием и получим
Частную производную так в общем случае не снять. Но нетрудно ее вычислить: в нашем случае это y'/F(y').
Поэтому (y')² = C(1+(y')²)
для произвольной постоянной C. Теперь видно, что так или иначе, а производная у функции y(x) постоянная. Значит, это прямая. Если заданы две точки, то прямая через них обязательно пройдет, и притом ровно одна. Поэтому никаких других решений быть не может. В частности, задача на максимум расстояния решения не имеет: удлинить путь всегда можно.
Теперь обратим внимание вот на какую важную вещь. Уравнение Эйлера, если вникнуть, второго порядка. Решать такие обычно сложно. Однако, если F зависит не от всех аргументов, то можно понизить порядок уравнения. Как мы в примере с прямой и поступили, использовав независимость от y. В механике это называется законами сохранения, а в теории дифференциальных уравнений - первыми интегралами.
Очень часто помогает независимость от x, которая аналогична закону сохранения энергии в механике. Давайте проверим, что если F от x не зависит, то величина
то есть сохраняется. Возьмем производную по x от левой части: она должна быть равна нулю. Поскольку
то всё сокращается и остается уравнение Эйлера.
К этому закону сохранения мы еще вернемся в другой раз. Давайте для тренировки применим его к нашей задаче о кратчайшей кривой. Там F от x тоже не зависит, так что это возможно. Получается
(y')²/F - F = C, или (y')² - F² = CF.
Учитывая, что F²=1+(y')², приходим к F=const, откуда делаем те же выводы.
Теперь вернемся к нашей задаче о цепочке. Функция F имеет вид
и от x не зависит. Это дает нам закон сохранения
или
y² = C²(1+(y')²).
Это сильно напоминает свойства гиперболических функций:
1+ sinh²(x)=cosh²(x),
так что можно поразмыслить и понять, что решением будет
y=acosh(x/a), a=-C.
Произвольную постоянную заменили на более удобную. Решений у уравнения, конечно, больше, но мы срежем немного путь. Подставим x=±1 и y(±1) = H и получим уравнение цепочки (цепную линию).
В следующий раз рассмотрим задачу о брахистохроне, а потом поговорим о принципе наименьшего действия в частности и вариационных методах вообще: мир устроен так, что вся физика основана на таких вот методах, и уравнения (практически все) получаются как уравнение Эйлера для того или иного функционала. Уравнение Эйлера поистине фундаментально! Но это тема для отдельной беседы, безусловно.
