Эта заметка — о приёмах оценки, приближенных расчетов интересных величин. Применительно к Солнцу.
Средняя плотность тела — это масса тела, деленная на его объем. Если плотность постоянна, одинакова во всех точках, то средняя ей равна. Если нет, то можно сказать только одно: в какой-то точке плотность равна средней (но только при условии непрерывного распределения плотности).
Средняя плотность черной дыры на удивление быстро убывает с ростом радиуса горизонта событий. Под средней плотностью черной дыры мы подразумеваем среднюю плотность области, ограниченной горизонтом событий. Радиус горизонта пропорционален массе: мы это много раз обсуждали и совсем просто это можно получить из анализа размерностей. В самом деле, метр пропорционален секунде, так как скорость света постоянна. Гравитационная постоянная тоже постоянна, а ее размерность м³/(кг∙с²). Иными словами, килограмм пропорционален м³/с², а с учетом пропорциональности метра и секунды, килограмм пропорционален метру. Так что радиус может быть только пропорционален массе, никак иначе. Другое дело, что коэффициент пропорциональности очень мал.
Так вот, объем шара растет как куб радиуса, а масса внутри шара растет как радиус, так что средняя плотность убывает обратно пропорционально квадрату радиуса. Дыра вдвое большей массы имеет вчетверо меньшую среднюю плотность.
Но эту плотность ни к чему не пристегнуть.
Давайте вернемся к Солнцу. Нам дана его масса, 2∙10³⁰ кг, и расстояние до него: 1.5∙10¹¹м. Больше ничего не дано, кроме самого Солнца. Масса Солнца, кстати, почти точно в триста тысяч раз больше массы Земли, а 300000 — это скорость света в км/ч (никакой связи тут нет, чисто мнемоника!)
Диск Солнца можно покрыть большим пальцем на расстоянии вытянутой руки. То есть диск Солнца виден под тем же углом, что большой палец (порядка 1см) с расстояния вытянутой руки (порядка 1м). Иными словами, диаметр Солнца относится к расстоянию до него так же, как 1см к 1м. Или в сто раз меньше. То есть,1.5∙10⁹м.
Проверим: 1.4 млн км. Почти точно.
Объем шара считается по формуле (1⅓)πR³. Приближенно это 4R³: нам хватит такой точности. Радиус есть половина диаметра, но можно сразу через диаметр переписать формулу: D³/2. Получим 3.375∙10²⁷/2=1.67∙10²⁷м³. Делим массу Солнца на его объем: получается 1.2∙10³кг/м³=1.2г/см³. Плотность воды составляет 1000кг/м³=1г/см³. Получается, что плотность Солнца лишь чуть больше плотности воды и близка к глицерину: у него 1.261. Точное значение 1.4.
Внутри Солнце весьма плотное, зато поверхностные слои очень малой плотности: газ, милорды, газ.
Мы могли бы обойтись без массы Солнца, точнее, могли бы вычислить ее сами. Расстояние до Солнца A=1.5∙10¹¹м, значит, длина орбиты (она почти точно окружность) около 9∙10¹¹м. Земля пролетает такой путь за год, а в году немного более, чем 3∙10⁷с. Значит, скорость Земли составляет v=3∙10⁴м/с. И скорость эта — первая космическая для Солнца и для данного расстояния до его центра (или до самого Солнца, ошибка невелика).
Квадрат первой космической скорости равен GM/A, где G — гравитационная постоянная. Стало быть, 9∙10⁸м²/с²=GM/A, или GM=13.5∙10¹⁹. Гравитационная постоянная известна: это 6.67∙10⁻¹¹ в системе Си (метры-секунды-килограммы, размерность приведена выше). Делим и приблизительно получаем M=2∙10³⁰кг.
Давайте оценим мощность Солнца. Мы знаем, что на Землю поступает 1400 Ватт на квадратный метр: это солнечная постоянная. Но столько энергии поступает в секунду на любой квадратный метр на сфере радиусом А. Ее площадь равна 4πA², то есть 28∙10²²м². Умножая, получаем почти 4∙10²⁶Вт. Точный ответ 3.6-3.8, а не 4: неплохо.
Поделим на площадь Солнца. Его диаметр мы нашли, это D=1.5∙10⁹м, а формула площади сферы через диаметр вообще простая: πD². Так что площадь поверхности Солнца составляет примерно 7∙10¹⁸м². Поделим мощность Солнца на его площадь: получим примерно 5∙10⁷Вт/м².
Итак, Солнце излучает 50 мегаватт с квадратного метра. Точный ответ — 63 мегаватта. Если учесть, что Солнце — абсолютно чёрное тело, то можно воспользоваться законом Стефана-Больцмана. Поделив на их константу 5.6∙10⁻⁸Вт/м²/К⁴, получим четвертую степень температуры Солнца: 9∙10¹⁴. Извлекая корень четвертой степени (или квадратный дважды), получим примерно 5400К. Точное значение 5800К.
Теперь давайте прикинем энергоэффективность Солнца, поделив его мощность (4∙10²⁶Вт) на его массу (2∙10³⁰кг): получим 2∙10⁻⁴Вт/кг. Это до смешного мало, так как человек излучает намного больше. В самом деле, температура кожи 33 градуса, в одежде еще меньше (пусть 300К), так что чистое излучение порядка 450Вт с квадратного метра. Площадь кожи около 2 кв.м, что дает 900Вт без учета поглощения излучения извне. Делим на массу порядка 100кг и имеем 9Вт/кг.
Учтем поглощение при температуре в 20 градусов (293К). Получается около 400Вт/кв.м. То есть эффективно человек излучает примерно 100Вт, или около 1Вт/кг. Всё равно в пять тысяч раз эффективнее солнышка!
Правда, мы излучаем только инфракрасный свет, а солнышко — еще приятный видимый и ультрафиолетовый. И оно светит исправно миллиарды лет, а мы — без воздуха, воды, пищи и солнечного света — существенно меньше. Да и с этими всеми благами вопрос открытый. А если это всё учесть, то эффективность сразу снизится. В этом плане у звёзд конкурентов нет.
Давайте попробуем еще немного снизить зависимость от данных. Пока мы зависим только от расстояния от Земли до Солнца, которое измерить напрямую не можем. Зато мы можем измерить период обращения Венеры вокруг Солнца: он в полтора раза меньше нашего года, 224 дня, или около 2∙10⁷с. Положимся на закон Кеплера: квадраты периодов относятся как кубы расстояний до Солнца. Если годы Венеры и Земли относятся как ⅔, то в квадрате это 4/9; извлекаем кубический корень и получаем примерно 0.77. Так относятся расстояния до Солнца, то есть мы знаем отношение. Расстояние от Земли до Венеры в момент соединения (наиближайшего положения) измерено Котельниковым: 40 млн км, или 4∙10¹⁰м. Это разность расстояний от планет до Солнца.
Имеем два уравнения: x-y=4∙10¹⁰, y/x=0.77. Отсюда получаем 0.23х=4∙10¹⁰ и, окончательно, расстояние от Земли до Солнца х=1.7∙10¹¹м (неплохо, у нас было 1.5).
Можно использовать не год Венеры, а минимальное и максимальное расстояния (если максимальное 260 млн км нам тоже известно). Тогда x-y=4∙10¹⁰, x+y=26∙10¹⁰, откуда сразу x=15∙10¹⁰м.
Кто-то может возразить: мы заменили одно неизвестное на другое неизвестное. Верно, но так и работает наука. Мы не знаем этого и не можем измерить, но мы можем измерить что-то другое и вычислить желаемое...так и живем.
Давайте в заключение посчитаем, насколько бы хватило топлива, будь Солнце чисто химическим источником тепла и света. Мощность 4∙10²⁶Вт, масса 2∙10³⁰кг. Теплота горения водорода превышает 100МДж/кг, или 10⁸Дж/кг. Игнорируем кислород (понимаю) и получаем 2∙10³⁸Дж. На самом деле, конечно, в разы меньше, так как кислород намного тяжелее водорода, а его нужно лишь вдвое меньше. Ну пусть пока так. Делим этот запас энергии на расход (ватт — это джоуль в секунду): 5∙10¹¹с. В году, как я уже говорил, примерно 3∙10⁷с, то есть получаем 20000 лет, а на самом деле ещё меньше.
Если взять природный газ или нефть, то будет еще вдвое меньше; если уголь, то вчетверо; если дрова, то в 10, а то и более.
Любопытная шкала энергоэффективности! Для урана эффективность порядка 80ТДж/кг, или 8∙10¹³Дж/кг. В миллион раз (почти) эффективнее и, соответственно, в восемьсот тысяч раз дольше. Урановое Солнце могло бы светить миллиарды лет, прямо как термоядерное... каковым оно и является.
