Мои постоянные читатели знают, что я люблю парадоксы. Не столько истинные, сколько псевдопарадоксы, то есть задачи с интуитивно шокирующим решением или фокусы с тщательно скрытым секретом.
Есть целая серия фокусов/парадоксов (зависит от художественного оформления), связанных с кажущимся нарушением инвариантности меры. Само свойство означает, что площадь (или объем) сохраняется при движениях, то есть при переносе фигуры или при повороте, иногда добавляют еще зеркальные отражения и другие преобразования симметрии. Выражаясь более строго, мера инвариантна при изометрических преобразованиях. Если перевести на бытовой язык: не меняется при преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками.
Не все меры, кстати, таким свойством обладают. Вероятностные, например, обычно не обладают. Но площадь обладает.
Ну и вот, например фокус:
Площадь квадрата слева равна 64 клеточки, а прямоугольник справа, 5х13, имеет площадь 65 клеточек. Хотя явно сложен из частей квадрата.
В чем тут секрет, я рассказывать не буду. Догадайтесь сами или можете считать, что Евклид не прав. Лучше давайте обсудим способ делать такие фокусы в любом количестве. На основе одного свойства чисел Фибоначчи.
Числа Фибоначчи — это ряд чисел N(n), в котором первые два единицы (N(0)=N(1)=1), а все, начиная с третьего, равны сумме двух предыдущих. Формула для n-ого члена получается несложно (но не школьными методами) и выглядит так:
А свойство такое: квадрат любого числа Фибоначчи отличается от произведения двух его соседей на единицу. Давайте докажем это свойство.
Запишем его:
N(n)² - N(n-1)N(n+1) = ±1.
Обозначим числа в скобках через Z₁ и Z₂ и перепишем свойство в виде
Выглядит не слишком правдоподобно, да? Но при раскрытии скобок кое-что сократится, и получится
Или
Теперь воспользуемся тем фактом, что Z₁Z₂ = -1:
Можно вынести (-1)ⁿ за скобку и это будет "плюс-минус 1". Именно этот множитель и "переключает знаки". То, что останется в скобках, и должно давать либо 5, либо -5; если это так, то свойство доказано. Проверим. Учитывая, что (-1)²=1, имеем:
Теперь возведем наши Z в квадрат. Получим
При сложении корень сократится и получится как раз-таки число 5.
Теперь рецепт фокуса. Рисуем квадрат, сторона которого имеет длину (в клеточках), равную какому-нибудь числу Фибоначчи N(n). Разрезаем его вдоль на два прямоугольника, так, чтобы короткие стороны составляли два предыдущих числа Фибоначчи. Делаем разрез как на рисунке и складываем прямоугольник со сторонами N(n-1) и N(n+1). В зависимости от n, этот прямоугольник будет либо на клеточку меньше по площади, чем квадрат, либо на клеточку больше.
Например, 8² = 5∙13 - 1, а вот 13² = 8∙21 + 1.
Только помните, что чем больше числа, тем незаметнее секрет фокуса. Для 3-5-8 он очень уж бросается в глаза.
[1] Гарднер М. Математические чудеса и тайны.