Привет тебе, о читатель. В этой небольшой заметке я приведу аналитическое доказательство того факта, что в сечении бесконечного конуса плоскостью получается одна из трех кривых второго порядка: эллипс, парабола или гипербола, в зависимости от наклона плоскости сравнительно с наклоном образующей конуса. По этой причине кривые второго порядка и называются коническими сечениями.
Всякое сечение сферического коня в вакууме является коническим. Юмор.
Существует прекрасное классическое геометрическое доказательство, восходящее к древним грекам, которое вы легко найдете в Сети. А мне больше по душе аналитический, координатный метод. Итак...
Конус построим как поверхность вращения, закрутив прямую z=kx вокруг оси z. Это и есть бесконечный двусторонний конус. Его уравнение получается из уравнения прямой заменой x на корень из x²+y²: ведь каждой точке прямой соответствует окружность. Получится уравнение
z²=k²x²+k²y²
Конус симметричен, поэтому секущую плоскость можно выбрать параллельной оси y. Или ось y выбрать параллельной плоскости, не важно. Тогда уравнение плоскости z=ax+b, для любых чисел a и b. Число a определяет наклон плоскости.
Подставим второе уравнение в первое. Сразу видно, что получится уравнение второго порядка в переменных x и y: никаких других выражений, кроме x, y, x², y² не появится. Ну, поехали:
a²x²+2abx+b²=k²x²+y²,
или
2abx+b²=(k²-a²)x²+y².
Если k>a, то справа знаки оба плюсы. Это эллипс. Удалить x несложно преобразованием координат.
Если Вам интересно, как удалить x, то объясню. У нас справа, если перенести, получится Ax²-2ABx. Здесь скобочку перед x² обозначили A, а ab/A через B. Выделим полный квадрат:
A(x-B)²-AB²
и обозначим (x-B) за новую координату, пусть будет χ. В итоге уравнение примет вид
b²+AB²=Aχ²+y².
Поделив на левую часть, получим уравнение эллипса.
Если же k<a, то знаки справа разные. Это гипербола. Одиночный x также может быть устранен преобразованием координат и уравнение сводится к каноническому.
Наконец, пограничный случай k=a. Плоскость параллельна образующей конуса. Тогда отсутствует x² и просто x уже не устранить. Получится парабола с уравнением y²=2abx+b^2, что сдвигом сводится к каноническому уравнению параболы.
Еще один момент. Секущая плоскость может иметь уравнение x=c, которое не сводится к виду z=ax+b, которое мы использовали. Ничего страшного, подставаляем в уравнение конуса:
z²=k²c²+k²y²
и получаем без вариантов гиперболу, только в переменных y-z, а не x-y, но какая разница? Нам все равно надо переходить в координаты плоскости, их две, а как они названы, роли не играет.
Кстати, в координатах плоскости уравнение может немного измениться, но его тип сохранится.
Вопрос к тебе, о читатель. Разделяешь ли ты мое мнение, что такое аналитическое доказательство не менее восхитительно, чем классическое геометрическое?