Это заметка --- опять про аксиоматические системы. Чтобы говорить о множествах серьезно, доказывать теоремы, нужны аксиомы, описывающие правила игры. Чтобы не возникали парадоксы вроде того, что придумал Б. Рассел: как быть с множеством множеств, не содержащим себя в качестве элемента? Оно не может содержать себя в качестве элемента, но не может и не содержать.
Аксиомы такие есть. Например, система Цермело-Френкеля. Углубляться не будем, не в том суть --- важно, что на базе этих аксиом строятся числа, числовая ось, геометрия, анализ и вообще --- вся математика.
Напомню, как сравниваются бесконечные множества. Если существует взаимно-однозначное соответствие, то есть каждому элементу одного множества отвечает ровно один элемент другого, то множества "равны по мощности" --- для конечных это "элементов поровну". Мощность натурального ряда называется счетной. Счетны рациональные числа, множество всех текстов в данном алфавите, счетная совокупность счетных множеств. Однако отрезок или прямая --- несчетны, что очень просто доказывается. Эта мощность называется континуум.
Гипотеза континуума гласит, что между счетной мощностью и континуумом других мощностей нет. То есть нет множества на отрезке [0,1], которое было несчетным, но и не континуумом.
Казалось бы, что проблема должна как-то решиться: либо такое множество нашлось бы, либо было бы показано, что оно невозможно --- предположение, что оно есть, приводит к абсурду, к "дважды два равно сорок два", например.
Но, как оказалось, это аксиома. Ее можно принять, а можно не принимать. И это ни на что не влияет.
Еще раз. Пусть два математика приняли аксиомы Цермело-Френкеля и принялись строить математику. Числа, числовую ось, уравнения, вероятность и так далее. У них есть отрезок [0,1], и вроде как это один и тот же отрезок. Там есть все вычислимые числа, 0.5 или пи на три, корень из двух пополам и логарифм двух.
Но у одного есть "такое множество", а у другого --- нет. И это ничему не мешает!
Тут стоит уточнить, что биекция --- то самое сопоставление "один в один" --- это тоже множество. И второй может соглашаться, что множество, указанное первым, есть, и да, оно несчетное... но сопоставление со всем отрезком существует! Поэтому оно континуум. А у первого --- нет сопоставления. Или есть, но не считается множеством...
А может быть, того самого множества нет у первого. Или есть, но множеством не считается....
В любом случае, этот спор ни к чему не приводит. У двух друзей все совпадает! Кроме одного... Но это одно ничему не мешает.
Может возникнуть вопрос: а как же доказать, что ГК --- аксиома? Надо построить модель. В одной модели ГК верна, там промежуточной мощности нет, а все аксиомы выполняются. Стало быть, опровергнуть ее, опираясь на аксиомы, не получится. Но в другой модели она неверна, а все аксиомы --- выполнены. Поэтому ее нельзя и доказать.
Можно предположить, что сами аксиомы Цермело-Френкеля противоречивы, хоть это пока и не установлено. Вряд ли. Непротиворечивость удалось доказать, добавив аксиому о недостижимом кардинале.
Да, вот такое название в стиле Дюма! В другой раз, может быть, расскажу.
Конечно, нельзя исключать, что сам "недостижимый" противоречит аксиомам... Но вряд ли. Просто "зачем-то пропадает очень много места", на отрезке [0,1] может быть (а может не быть) такое затейливое множество... которое никому не мешает. Про "много места" скоро будет еще заметка. Оставайтесь с нами!