Мы уже обсуждали аналитические функции и их чудеса. Если у функции есть обычная производная, но в комплексной области (то есть, dx может быть любым комплексным числом), то у нее есть все производные и много удивительных свойств. При этом "все" функции (элементарные-то точно все) аналитические, за исключением отдельных особых точек.
Комплексную плоскость удобно дополнить одной точкой, бесконечностью; тогда если на бесконечности есть предел, то это один и тот же предел, как бы z не росло по абсолютной величине. Например, 1/z имеет нулевой предел в бесконечности.
Значения функции и ее производных в области, в которой особых точек нет, определяются значениями функции на границе: интегралом по границе от f(z)/z^k (с точностью до постоянного множителя). Здесь k-1 --- порядок производной, для самой функции k=1.
Удивительный факт состоит в том, что особых точек не может совсем не быть! Если у функции нет особых точек, ни конечных, ни бесконечной, то она константа.
Допустим, что у функции f(z) нет особых точек. У нее есть предел на бесконечности, и значит, она ограничена по модулю при больших по модулю z каким-то положительным числом С. Возьмем окружность большого радиуса R с центром в нуле (или где хотите) и выразим производную в этой точке интегралом от f(z)/z^2. Оценив его по модулю, получим, что производная не превосходит интеграла от C|dz|/|z|^2. Учитывая, что на окружности z=Re^{it}, получим интеграл от Сdt/R, который равен 2пC/R.
Производная по модулю не превосходит 2пС/R, для любого R, но R столь велико, сколь нам угодно. Поэтому она равна нулю. В любой точке. Везде. Функция --- константа.
Таким образом, у функции либо есть конечная особая точка, как у 1/z, либо она целая (без конечных особых точек), но у нее проблемы в бесконечности.
Это простой факт, но он сразу выстреливает, бесплатно давая нам основную теорему алгебры:
У любого многочлена степени один и выше есть хотя бы один комплексный корень .
Многочлен --- целая функция, и на бесконечности стремится к бесконечности. Если у многочлена P(z) нет нулей, то функция 1/P(z) целая и имеет нулевой предел в бесконечности. И при этом --- не константа, чего не может быть.
Если многочлен имеет корень z1, то он делится столбиком на z-z1 и дает многослен степени на 1 меньше, у которого тоже есть корень, такой же или другой. В итоге многослен степени n>0 имеет ровно n комплексных корней, возможно, совпадающих.
Кратные корни --- не формальность: если корень кратный, то он корень производной также.
Особые точки классифицируюися на три типа. Устранимая особая точка --- если есть предел. Например, sin(z)/z. В нуле есть предел, и если договориться, можно особую точку убрать.
Полюс --- если предел бесконечный. Пример --- многочлен или квадратный корень в бесконечности или обратные к ним в нуле.
Существенно особая точка --- если предела нет. Тогда предел по какому-то направлению может быть любым, но не это удивительно:
В любой окрестности существенно особой точки фукнция принимает все значения, кроме, быть может, одного.
Так, экспонента в окрестности бесконечности (при больших по модулю z) принимает все значения, кроме нуля, а синус --- все до единого.
Этот факт подводит базу под определение бесконечности как одной точки: ведь функция может иметь разные пределы на минус бесконечности и плюс бесконечности. Может, но для существенно особой точки даже должна.
Про аналитические продолжения, пожалуй, в следующей раз!