В топологии часто используют аллегорию изгибания. Гомеоморфизм — основной класс преобразований — это непрерывные взаимно-однозначные преобразования, такие, что и обратное тоже непрерывно. Иными словами, нельзя разрывать, склеивать, отображать много точек в одну или расщеплять одну точку на много. И все непрерывно, то есть если точки близки тут — они близки и там. Пластилиновая геометрия: лепи, растягивай, изгибай; но не разрывай и не склеивай!
А есть и другая аналогия: рисование карты. Рим стоит на холмах, прекрасно, но точка с координатами такими-то в Риме отображается в такую-то точку на карте. Плоской.
Ну а теперь возьмем открытый круг (без граничной окружности) или внутренность квадрата (как удобнее, они гомеоморфны и, следовательно, равноправны) и отобразим гомеофорфно на ... что-нибудь. Получится поверхность, но мы назовем ее элементарным многообразием или картой, потребовав дополнительно гладкости и невырожденности отображения: чтобы все производные до какого-то порядка существовали.
Всё бы хорошо, но есть много объектов, которые должны быть многообразиями, но элементарными многообразиями не являются. Сфера, например. Ее же не накрыть одной картой...
Так вот: многообразием называется множество, каждая точка которого накрывается хотя бы одной картой, и есть требование согласования: если точка накрывается двумя картами (тогда и некоторая окрестность ее попадает на обе карты), и можно часть карты отобразить на часть другой карты. Вот это отображение должно быть гладким и невырожденным.
Набор карт называется атласом.
Пример: сферу одной картой не накрыть, но можно сделать карту северного полушария. Туда не войдет экватор, так как у нас открытые множества, но это не страшно. Южное полушарие накроем второй картой. Экватор по-прежнему не вошел. Ну, добавим карты восточного и западного полушарий, и еще две с третьего направления. Шесть карт: не самый маленький атлас (можно обойтись двумя картами).
Если карты построены на открытых шариках размерности n, то многообразие имеет размерность n.
Далее работа идет с множеством, которое покрывается картами, но подразумеваются атласы (которых может быть много разных). Если многообразие компактно, то обязательно существует конечный атлас: можно обойтись конечным числом карт.
Компактное одномерное многообразие только одно: окружность (конечно, ее можно как хотите гомеоморфно изгибать). Некомпактное — прямая или интервал (что едино). Двумерных побольше, но тоже обозримо: сфера, тор, сферы с ручками...
Что многообразием НЕ являтся? Ну, не может быть края. "Многообразие с краем" — это отдельное определение и другой объект. Так, полусфера либо есть "многообразие с краем"; либо край не входит и тогда это некомпактное, но многообразие. Не может быть всяких негладкостей: острий, ребер, разрывов.
Не может быть фрагментов, не отображаемых на открытую область. Например, крест из двух прямых — не многообразие. Или пересечение двух плоскостей...
Пока что мы взяли нечто, какое-то множество, и наложили на него структуру многообразия: атлас. Если это удалось, то множество есть многообразие.
Можно взять не просто множество, а подмножество пространства, и вводить структуру там. Тогда получится подмногообразие пространства. И возникает вопрос, является ли данное многообразие подмногообразием какого-то пространства? И любое ли многообразие гомеоморфно подмногообразию какого-то пространства?
Как говорят, "вкладывается в пространство".
Ответ на вопрос дает теорема Уитни: многообразие размерности n вкладывается в пространство размерности не более 2n+1. Хотя обычно хватает меньшей размерности. Так, одномерное многообразие вкладывается в двумерное: одно же одно такое. Двумерное влезает в четырехмерное (бутылку Клейна вспоминаем).
Тор можно строить как подмногообразие трехмерного пространства (бублик), и он не плоский в том смысле, что кривизна в точках у него разная (хотя интегрально нуль); а можно строить его абстрактно, а тогда кривизна у него нуль: мы это уже обсуждали.
Многообразия могут быть топологически эквивалентны: гомеоморфны. А могут быть диффеоморфны, если гомеоморфизм гладкий. Может показаться, что это одно и то же, но нет: в размерностях начиная с семи существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные многообразия. Сферы Милнора. В размерности 4 ясности нет, она вообще странная размерность, но о ней в другой раз.
Самое главное, что я хотел донести: вся идея о многообразии основана на факте невозможности в общем случае накрыть его одной картой. По сути, нельзя ввести координаты сразу во всем множестве, если оно "искривлено". Можно сказать, что невозможно, за редким исключением, согласовать координаты разных областей искривленного пространства. А это уже имеет далеко идущие последствия для физики. Например, невозможность синхронизации часов в присутствии гравитационных полей и/или ускорений... Или, что то же самое, выделить поверхность одновременности, общую для всех наблюдателей. Банальное уравнение t=const может не решаться. Проблему можно прочувствовать уже на примере земной сферы, где полночь везде в разное время...