Мы часто приводим в пример кривизну Земной поверхности, объясняя кривизну пространства-времени. Но есть неправильное впечатление, что Земля Землёй, но "на самом-то деле" есть трехмерное пространство, и в нём истинные расстояния, а то всё пустое.
Конечно, зависит от точки зрения: адмирал, гоняющий флотилии по океану, мыслит в терминах путей по сфере, даже если не считать фарватеры, сушу, мели и прочие тонкости. Ему без разницы, что в 3D расстояние всего 1500 км: ему надо пройти 1600. Конечно, разница невелика на таком масштабе, но вот между 12.8 тыс и 20 тыс уже более существенна.
Но вот весьма известный, но всё-таки очень актуальный и неустаревающий пример прямого длинного туннеля. Прокопаем прямой (в смысле геометрии трехмерного пространства) туннель между двумя отдаленными городами. Он прямой: лазерный луч проходит насквозь, не касаясь стенок; нитку можно натянуть. В общем, прямой, не поспоришь.
Однако выходы туннеля на поверхности, а середина в глубине Земли, то есть туннель идет вниз, а потом вверх. И потенциал внизу меньше, то есть предоставленное самому себе тело покатится вниз. Еще Перельман в "Занимательной физике" обсуждал проект безтопливного транспорта: пусти вагончик в такой туннель, он покатится вниз, потом по инерции вверх и, в идеале, остановится на выходе.
Собственно, поверхность шара (точнее, геоида) и есть "ровная" в гравитационном смысле. Дальше от центра, то есть "вверх" - это вполне конкретно "вверх", что чувствовал всякий, кто ставил ногу на ледяной уклон. А ближе к центру есть "вниз", и это тоже совершенно явное "вниз".
Давайте посмотрим форму туннеля с точки зрения потенциала. Туннель - это хорда, она характеризуется своей длиной 2L. Радиус шара примем за единицу. Из рисунка и школьной тригонометрии получаем:
x = H/cosα, tgα = (L-A) / H, H² = 1 - L².
Далее, 1/cos²α = 1 + tg²α и после несложных преобразований:
x² = 1 + A² - 2LA
Точка на расстоянии А от входа в туннель находится на глубине 1-x. Графики этой зависимости на втором рисунке. Вот так выглядит прямой туннель. Именно так, это именно что "яма".
Внимание, вопрос: так прямой туннель или кривой "на самом деле"?
Нет ответа. Смотря что значит "прямой". Если свет по нему проходит насквозь, то прямой. Если стоять можно ровно, хоть пол скользкий - то не прямой. И это несовсестимо!
А пусть теперь свет заметно отклоняется гравитацией. Тогда что мы назовем прямым?
Может, пора признать, что понятие "прямой" относительно? И спокойно относиться к кривизне пространства-времени, против которой выступает исключительно бытовая интуиция, которая просто такого не наблюдала?