Поговорим об обратимости времени в механике. Что это значит и почему об этом так много говорят?
Дело в том, что уравнения, описывающие те или иные процессы во времени, могут сохранять свою форму при замене времени t на обратное время -t. И основные уравнения механики именно таковы.
Там либо нет первых производных (которые меняют знак), либо они в квадрате, либо знак меняет еще что-то. Например, в силе Кориолиса скорость есть, но она векторно умножается на угловую скорость вращения, которая тоже меняет знак.
Формально это означает две вещи:
- нет фундаментальных препятствий к обратному течению времени;
- и если возможен некоторый процесс, то возможен и обратный процесс.
И вот второе очень важно!
Ведь обратный ход времени — это что-то из фантастики, а вот поменять скорости всех точек на противоположные возможно, и иногда даже несложно. Скажем, летит теннисный мяч. Летит по какой-то траектории. Если подставить ракетку строго перпендикулярно к скорости и удар упругий, то скорость мяча поменяет направление на обратное. И он полетит по той же траектории обратно.
В общем-то, энтропийная стрела времени — это и есть объяснение того, почему есть необратимые процессы. Разлететься многочисленным шарикам в невесомости из открытой коробочки несложно, а вот собраться в коробку куда труднее. Формально-то "отбей" каждый шарик, но на деле процесс неустойчив, малые погрешности быстро (экспоненциально) нарастают. Можно связать с ансамблем шариков некоторую величину — энтропию, и она в среднем будет возрастать. Задачу надо, конечно, уточнять, но это сделано, причем разными способами.
Методика решения линейных уравнений в любой области одна и та же, и я ее попытался раскрыть в заметках про игру на разорение. Первая описывает подход к уравнениям с одной переменной, вторая — с двумя. И в этих материалах показано, что уравнения обычно решается в отрыве от начальных и граничных данных к нему. Краевые условия могут быть разные, а уравнение одно и то же.
Например, вы бросаете с дерева яблоко подруге, а она его ловит. Яблоко летит по некоторой траектории, и уравнение движения обратимо во времени. Это второй закон Ньютона, выражающий ускорение (вторая производная, от направления времени не зависит) через силу (постоянную). Так что возможно и обратное движение, от руки подруги в вашу руку.
Только задачу надо ставить полностью: уравнение снабдить начальными условиями. В первом случае это будет "яблоко изначально в вашей руке, скорость яблока такая-то", во втором: "яблоко в руке подруги, скорость другая-то".
Можно решать прицельную задачу: дано положение (руки), выбрать скорость так, чтобы яблоко оказалось в ее руке. Это задача может и не иметь решения.
Можно ставить не начальное, а конечное условие: яблоко должно оказаться в ее руке, причем с заданной скоростью влететь в нее. Такая задача тоже может не иметь решения. Например, если по вертикали между вашими руками метр, то скорость сильно меньше √(2g)≈4.47м/с никак не обеспечить. Конечная скорость будет всегда больше, чем начальная (по величине) и больше указанного выше числа.
А можно поставить краевую задачу: в начале яблоко в моей руке, в конце — в руке подруги. Такая задача, если решается, то сразу обратима во времени: ведь и уравнение, и граничные условия во времени симметричны.
Обычно мы представляем себе задачу Коши, с начальными значениями координат и скоростей. Это понятно, так как это единственный "рабочий" вариант: зная это, сразу можно бросать яблоко. Остальные задачи надо сначала решить, находя опять-таки начальные значения.
В книжке Бриллюэна "Relativity reexamined" я заметил странную для него ошибку: он пишет, что классическая механика необратима во времени, так как симметрией не обладают начальные условия, которые всегда есть.
Да, но речь идет об обратимости уравнений, допускающих вместе с процессом симметричный ему обратный процесс.При этом начальное условие первого превращается в конечное условие второго. Но можно поставить эквивалентную краевую задачу и она будет обратима. Если мы можем метнуть пушечное ядро отсюда и попасть в ним, то и они могут метнуть оттуда и попасть к нам.
В каких случаях обратимости может не быть? Когда уравнения зависят от времени явно. Скажем, действует слабеющая сила. Когда есть диссипация энергии или передача ее вовне системы. Например, если есть трение. Когда определена энтропия и она возрастает.
Таких задач много, конечно, но когда говорят об обратимости, имеют в виду фундаментальные уравнения. А они симметричны.
Особенно изящно проявляется необратимость в модели диффузии. Ансамбль частиц как-то движется и в принципе может двигаться и обратно. Но вот обратно "не бывает". А уравнение диффузии, которое можно решать "вперед" с любого начального распределения, "назад" решается только на очень особых "конечных" распределениях, по сути на решениях прямой задачи. Но это уже другая история...
