Сколько нужно энергии, чтобы ускорить данное тело?

Итак, задача классической механики: дано тело некоторой массы и оно ускоряется. Ускорение известно. Вопрос: сколько энергии потребляет это ускорение?

Ответ: да сколько угодно. Конечно, если нет трения и других потерь, то имеется оценка сверху: затраты энергии E — это работа, а она есть произведение силы F на перемещение X. Сила есть масса M на ускорение A, так что E=MAX, а за единицу времени получается мощность W=MAV, где V — скорость. При заданной массе и фиксированном ускорении это тем больше, чем выше скорость.

Зеленая, красная и синяя стрелки - сила, ускорение и скорость. Все направлены одинаково, поэтому можно просто умножать их величины.

С другой стороны, это хорошо работает, например, при ускорении постоянным электрическим полем или, скажем, однородным гравитационным. В этих случаях тело расходует свою собственную потенциальную энергию. И чем быстрее "падает", тем больше энергии тратит за секунду просто потому, что пролетает больше книзу. А вот ракета с работающим двигателем имеет (допустим) постоянное ускорение. Уравнение ракеты udm=mdv, это просто закон сохранения импульса (здесь u — скорость струи). Масса ракеты снижается за счет выброса струи, но если этим эффектом можно (поначалу) пренебречь, то постоянное ускорение при постоянной массе требует постоянной во времени реактивной струи (мы предположили, что она мала в сравнении с массой всей ракеты). То есть равным временам dt отвечают равные выбросы dm. Эта струя уносит энергию, которая равна dmu²/2, то есть в единицу времени потери энергии одинаковы.

Если же масса ракеты всё-таки снижается, то постоянное ускорение можно поддерживать меньшими усилиями, тратя меньше энергии в единицу времени. Поэтому чем ракета быстрее движется, тем эффективнее ее двигатель. За счет того, что меньше топлива приходится разгонять.

Но каков же минимум затрат энергии? Нулевой.

В самом деле, выше мы неявно предположили, что скорость и ускорение направлены одинаково. Но если угол прямой, то проекция ускорения на направления скорости равна нулю! Иными словами, ускорение не меняет величину скорости. Только направление.

Синяя - скорость, красная - ускорение (или сила)

Таково движение по окружности! Меня удивила настойчивость одного комментатора, уверяющего, что бесконечное вращение даже без трения невозможно.

Он ссылался на танковый гороскоп. Может, это Т9, увековеченное в анекдотах, но гороскоп упоминался два-три раза, даже после моего оскорбительного хохота.

Бесконечное вращение без трения — возможно. Более того, без трения равномерное вращение и останется навсегда равномерным. Скорость при вращении направлена по касательной, а ускорение — к центру, оно и называется "центростремительным". Оно перпендикулярно к скорости (теорема элементарной геометрии о перпендикулярности радиуса окружности к касательной) и не меняет величины скорости каждой точки. А значит, кинетическая энергия каждого фрагмента постоянна. По закону сохранения энергии, энергия не может ни приходить, ни уходить, если она неизменна.

То есть сила действует, ускорение имеется, а энергия не меняется.

На самом деле, затраты энергии могут быть даже отрицательны: если мы тормозим с рекуперацией. Ускорение постоянно, энергия вырабатывается. Пока не остановимся. Но давайте полагать, что изначально скорость была нулевая. Тогда минимальный ответ нуль, и это при вращении.

Но больше, чем потратили, не рекуперировать - это, я надеюсь, понятно?

Если вам известно, что поле, например, не потенциально (магнитное, скажем, или поле сил Кориолиса) и закон сохранения выполнен, то сила, которую оно создает, направлена только под прямым углом к скорости. В противном случае оно могло бы провести материальную точку по замкнутой линии, нарастив ее скорость по величине. А это уже пахнет вечным двигателем.

Разница между циклоном и антициклоном не только в направлении вращения, а еще и в том, как проявляется трение. Если внутри высокое давление, то трение о землю превращает окружность в раскручивающуюся спираль, и тучки улетают. А если низкое, то спираль закручивается и тучки залетают. Но в любом случае, ветер дует не вдоль градиента давления, а почти перпендикулярно ему.

Так что песчаные бури на Арракисе, усиливающиеся из-за сил Кориолиса, оставим на совести Герберта. Кориолис на такое не способен. Напротив, он ограничивает скорость ветра, так как (без трения) поворачивает направление ветра, так что оно становится перпендикулярно к создающему ветер перепаду давления. В итоге сила Кориолиса компенсирует перепад давления, а ветер дует вдоль изобар. Получается парадоксальная ситуация: сила есть, а ускорения нет. Потому что есть две силы, компенсирующие друг друга...

Синие стрелки - антиградиент давления, то есть направление, в котором оно убывает. Красные - скорость ветра. ветра. Черные - силы Кориолиса. Скорость такая, чтобы ускорение Кориолиса в точности компенсировало ускорение из-за перепада давления. В итоге циклон может крутиться сколь угодно долго, пока трение не сгладит перепад давлений. На Юпитере Красное пятно - это такой циклон.

Впрочем то самое трение непотенциально и действует в направлении, противоположном скорости. И нарушает закон сохранения в какой-то мере...

Но это уже другая история.