Пифагоровы штаны различного фасона

Все мы чуть ли не с детского сада знаем "Пифагоровы штаны": прямоугольный треугольник с построенными на сторонах квадратами, имеющий некоторое сходство с шортами. Теорема утверждает, что сумма площадей квадратов на катетах равна площади квадрата на гипотенузе.

Доказательств у этой теоремы очень много. Мое любимое основано на анализе размерностей, а по сути, это теория групп. Длина измеряется в стадиях (дактилосах, ортодонтах, пигмеях), площадь в квадратных стадиях (дактилосах и т.д.). Даже если для площади есть свои единицы вроде акайны или гектоса, они выражаются именно через квадратные дактилосы. Углы измеряются в градусах или, правильнее, в радианах - но это безразмерная единица измерения, ведь радианная мера есть отношение длины дуги к длине радиуса. А градус есть просто некоторая доля радиана.

Мы исходим из того, что прямоугольный треугольник определяется длиной гипотенузы с и одним из острых углов α. Зная это, мы легко найдем все остальное.

В частности, найдем площадь S. И нам не важно сейчас, как именно выглядит эта формула S = f(c,α). Важно только одно: слева стоит дактилос в квадрате, а справа функция от величины в дактилосах и угла. Единственный способ, чтобы формула не "ломалась" при переходе от дактилосов к пигмеям, это записать ее в виде f(c,α) = c²g(α).

Инвариантность в выбору системы единиц важна, так как если ее нет, то формула зависит от выбора системы единиц, то есть треугольник "знает", в каких единицах его описывают, и в метрах ведет себя не так, как в дюймах, дактилосах или световых годах. Такого быть не может.

От функции g(α) нам надо только два свойства: что она не равна нулю и что она симметрична относительно замены α на 90º-α. Последнее следует из того, что неважно, который из двух острых углов мы выбрали.

Теперь разделим треугольник на два, опустив высоту их вершины прямого угла. Эти треугольники оба прямоугольные, гипотенузы у них a и b, острые углы те же, что у исходного. То есть, они подчиняются той же формуле. Но площадь исходного треугольника равна сумме площадей:

c²g(α) = a²g(α) + b²g(α) => c² = a² + b²

Quod erat demonstrandum.

Теперь красивейшая идея, которую я подсмотрел у профессора Odifreddi.

То же соотношение "Пифагоровы штаны" верно не только для квадратов! На сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые правильные многоугольники, полукруги и какие угодно фигуры, лишь бы сохранялось геометрическое подобие.

Для красных треугольников (они равносторонние) свойство площадей имеет место, как и для серых квадратов. Для синих треугольников тоже: они прямоугольные и острые унглы у них одинаковы. Важно только, что треугольники подобные.

Изначально этот результат может выглядеть сомнительно, но с описанным выше доказательством он очевиден. Если фигура из некоторого класса полностью определена длиной одного отрезка, то площадь этой фигуры пропорциональна квадрату длины этого отрезка: иначе не будет инвариантности к единице длины! А если площадь пропорциональна c², то теорема Пифагора гарантирует "пифагоровы штаны" любого фасона!

Полукруги можно. Любые фигуры, лишь бы они были подобны и построены на стороне теругольника!

В качестве скучного заключения я приведу вывод формулы для g(α):

a=ccosα, b=csinα, h=asinα, S=½ch=½casinα=½c²cosαsinα=¼c²sin2α.

Таким образом, площадь действительно пропорциональна квадрату гипотенузы и g(α)=¼sin2α. И симметрия имеет место. Всё сходится.

Ещё бы.