Это предельно простое объяснение этих и других страшных слов.
Итак, представим себе город и перемещающихся по нему людей. Для начала сделаем временное предположение, что плотность людей не меняется со временем. Вот такое строгие правила: на пять, скажем, квадратных метров один человек, и никак иначе. Если один вошел, то другой вышел, можно через другую дверь. В разных местах плотность может быть разной, но обязательно постоянная.
Тогда для многих домов, районов, кварталов и т.п. подсчет входящих-выходящих покажет, что сколько вошло, столько и вышло. Это поток. Однако в родильных домах будет перевес в сторону исходящих. А в больницах, как не печально — в сторону входящих. Это и есть дивергенция.
Дивергенция является характеристикой течения жидкости (например), показывающей деятельность источников и стоков. Если она внутри объема (интегрально, то есть в сумме) нуль, то поток через границу объема равен нулю: сколько втекло, столько и вытекло. То есть внутри либо нет источников и стоков, либо они в точности друг друга компенсируют. Если не нуль, то есть источники или стоки. Можно взять очень малую окрестность точки, и получить источник-сток в точке: это и есть дивергенция в точке.
Но это работает не только для несжимаемой жидкости. Как же снять слишком сильное условие о постоянной плотности населения города?
Можно рассматривать плотность в среднем за сутки или за неделю, скажем. Тогда плотность можно считать и постоянной. А можно считать увеличение плотности стоком, а снижение — источником, и тогда получается (для жидкости или газа) уравнение неразрывности. Оно утверждает, что дивергенция равна изменению плотности плюс деятельность настоящих источников.
Давайте переведем два уравнения Максвелла на человеческий язык: одно утверждает, что дивергенция напряженности магнитного поля нуль, а второе — что дивергенция электрического поля пропорциональна плотности зарядов. Читаются они так: у магнитного поля нет источников, а источниками электрического поля являются заряды.
Теперь обсудим ротор, он же вихрь, он же иногда курль. Но сначала определим циркуляцию (для нашей простой аналогии): это количество людей, прошедших по некоторой кольцевой улице (или пути в городе, но замкнутом). По часовой, скажем, стрелке. Для жидкости или газа это количество вещества, перенесенного вдоль замкнутого контура. Ротором и называется такая циркуляция по маленькому контуру вокруг данной точки.
По сути, циркуляция по любому контуру (пути в городе) равна интегралу от ротора.
Правда, это очень упрощенное объяснение. Слишком. На самом деле, ротор — это характеристика трехмерного векторного поля (скоростей жидкости или газа, скажем) и это тоже вектор. Его направление задает ось и направление вращения, а длина — угловую скорость вращения жидкости или газа вблизи точки. Потому и вихрь.
Для двумерного поля это просто число, которое ротором не называют, а называют завихренностью или вихрём. Оно играет важную роль в геофизической гидродинамике: упрощенные уравнения динамики жидкости эту величину сохраняют (наряду с энергией и другими консервативными величинами) и в реальных морях этот закон сохранения приблизительно имеет место.
Трехмерный ротор можно записать как кососимметрический тензор (матрицу, такую, что транспонированная равна исходной, умноженной на -1) — это иногда удобно, проливает дополнительный свет на свойства и позволяет обобщить на многомерные пространства. В трехмерном пространстве у такого тензора три независимые компоненты (ниже диагонали; выше диагонали они отличаются только знаком, а не диагонали нули) и он ведет себя "как надо", то есть как (псевдо)вектор. В многомерных пространствах вихрь — это кососимметрический тензор, но вектором его уже представить нельзя. Например, в четырехмерном пространстве независимых компонент уже шесть.
Если у нас вращается жидкость как целое, то ротор по величине равен удвоенной угловой скорости. В общем случае он как бы выделяет вращательную компоненту движения.
Применительно к городу: в основном, жители перемещаются по городу, а за его пределы выезжают редко. Поэтому вращательная компонента должна присутствовать, но может равняться нулю из-за того, что люди двигаются по кругу в обе стороны поровну.
Но вот на кольцах на автодорогах завихренность точно ненулевая, если движение в обе стороны есть. Даже если ни одна машина не разворачивается: важно, сколько их прошло полный круг в штуках, четыре по полкруга — это два полных круга. А уменьшать они это число не могут, так как вращаются всегда в одну сторону.
Вторая пара уравнений Максвелла утверждает, что скорость изменения одного поля равна плюс-минус ротору другого, ну, если тока нет.
Циркуляция имеет смысл работы поля при протаскивании предмета по замкнутому пути.
Теорема Гаусса утверждает, что интеграл от дивергенции по объёму равен потоку через его границу. Нам теперь это должно быть очевидно. Формула Грина, одна из двух, выражает то же для двумерного случая: интеграл от дивергенции по плоской области равен потоку через линию ее границы.
Вторая формула Грина, технически сводящаяся к первой, утверждает, что циркуляция по контуру равна интегралу от вихря по области, которую контур ограничивает. Тоже очевидно по определению.
В трехмерном пространстве это теорема Стокса. Надо взять поверхность с краем, причем край является замкнутой кривой. Что-то вроде мешка с горловиной или кувшина.
Так вот циркуляция по краю равна интегралу по поверхности от ротора. Не так очевидно, но понятно.
Ротор градиента скалярной величины равен нулю. Вектору-нулю, разумеется. Это очень ясно, если посмотреть физически: если векторное поле является градиентом какого-то скалярного поля, то это скалярное поле есть потенциал. Энергия. Она зависит только от координат, от истории движения не зависит. Но тогда работа по замкнутому контуру должна быть равна нулю, иначе можно потратить энергию, вернувшись в ту же точку: в одной и той же точке энергия будет зависеть от прошлого. Значит, вращательного движения в поле нет, такой поток жидкости не может вернуть плавающее в нем тело обратно.
Дивергенция ротора тоже равна нулю (теперь числовому). Это тоже понятно: у вращения нет источников.
Стало понятнее?
