Привет всем. Повеселимся?
Первая шутка. Детская.
В школе учили, что квадратный трехчлен имеет не более двух вещественных корней. Или имеет ровно два, но они могут быть комплексными или совпадать.
О том же говорит и известная теорема из теории функции комплексной переменной: если функция регулярна (имеет производную) во всей комплексной плоскости, включая бесконечно удаленную точку, то она константа. Ведь если у многочлена P(x) вообще нет корней, то 1/P(x) именно такова, но константой такая функция не является. Значит, есть корень. Так можно понизить степень многочлена на единицу, а потом повторить рассуждение: вот и получим ровно два корня (которые могут и совпасть).
Но вот такой многочлен
явно имеет ТРИ РАЗНЫХ корня a, b и c! При этом каждое слагаемое является многочленом второй степени, то есть все выражение тоже многочлен, и степень больше двух никак стать не может.
Итак, у нас многочлен второй степени с тремя разными корнями. Как это может быть?
Вторая шутка. Несмешная.
Возьмем многочлен (x-1)(x-2)(x-3)...(x-42). Он 42-ой степени. Какие у него корни? Очевидно, 1, 2, 3, ..., 42. Раскроем скобки: при x в степени 41 будет стоять довольно большое число. Добавим к этом коэффициенту маленькое число: одну миллионную, и посмотрим корни нового многочлена. Казалось бы, они будут где-то поблизости, но нет.
Сюда же еще шутка, но не совсем математическая. Упростить
(x-a)(x-b)(x-c)...(x-z)
Третья шутка. Для продвинутых.
Возьмем формулу Тейлора для экспоненты. Выбрав число n и разложив ее в ряд до степени n, получим полином, у которого есть n комплексных корней (могут совпадать). В бесконечности у полинома полюс: он там стремится к бесконечности.
При больших n имеем очень близкий к экспоненте многочлен, у которого много-много нулей и полюс в бесконечности. Таким образом, у экспоненты должно быть бесконечно много нулей и полюс в бесконечности. Однако это не так: нулей вообще нет, а в бесконечности может быть какой угодно предел: хоть нуль, хоть 42, хоть даже 666.
Ну и как приближающий экспоненту полином, который стремится к бесконечности на бесконечности, даст эти 42 или 666?))
Кстати, сюда же. Известно (теорема Вейерштрасса), что любую непрерывную функцию можно сколь угодно точно приблизить многочленом достаточно большой степени. Как насчет приблизить и потом искать нули или минимумы у него, а не у исходной функции?
Четвертая шутка. Для еще более продвинутых.
Возьмем многочлен с дробными степенями, большими единицы. У этой функции есть непрерывная производная, не так ли? И это тоже многочлен с дробными степенями, только большими нуля. Функция с непрерывной производной в комплексном смысле обладает всеми производными и раскладывается в ряд по целым степеням. Но у функции "x в степени 1.5" нет второй производной в нуле.
Пятая шутка. На самом деле, это серьезная задачка, классическая. Но если не знать секрета, можно голову сломать: вот уже решение видно — а никак.
Итак, известно, что у некоторой функции в каждой точке все производные, начиная с некоторой, равны нулю. В разных точках может быть "начиная" с разной. Доказать, что это многочлен. То есть, что во всех точках "начиная" с одной и той же: просто некоторая производная равна нулю тождественно.
Шестая шутка. Ну так...
Докажите, если еще не знаете, что cos(n arccos(x)) — многочлен степени n. Это так называемые многочлены Чебышёва. У косинуса бесконечно много нулей. Арккосинус комплексного аргумента принимает все значения без исключений. Поэтому у любого многочлена Чебышёва должно быть бесконечно много нулей. Ну и где они все?
А, ещё вот. Многочлены Чебышёва определены, как и любые многочлены, при всех x, но арккосинус-то только на [-1, 1]. Как же быть? Если так записать, то при x=42 нормально все считается, а если эдак — то значение вне области определения.
