Есть такая поучительная задачка. Я видел ее у В. Арнольда и говорят, что она входит в число вопросов Idiotentest в Германии. Ну вы знаете: "сколько в Германии поворотов?", "кто будет доить быка, которого купил Джон, но который пасется на поле Джека?", или "куда полетит дым от едущей на север электрички, если ветер дует с севера?"
Итак: сколько раз в сутки стрелки часов совпадают? А сколько раз перпендикулярны?
Уточним задачу: стрелки равномерно движутся, так что часовая за сутки делает два оборота и показывает правильное время, а минутная делает один оборот за час. При этом в полночь обе стрелки показывают на 12.
Напрашивается очевидный (но неправильный) ответ: стрелки совпадают каждый час, поэтому 24 раза. Неправильный он потому, что совпадение последнего часа совпадет с совпадением первого часа следующих суток (минус одно), ну и совпадение двенадцатого и тринадцатого часа одно и то же (минус еще одно). В итоге 22.
Но лучше перебрать все совпадения, а это немного утомительно. Давайте подключим математический аппарат.
Стрелки — это единичные векторы, зависящие от времени. Часовая имеет компоненты (cos(4πt), sin(4πt)), если t — время в сутках. За одни сутки два оборота. Минутная стрелка крутится в 12 раз быстрее, так что вместо множителя 4 у нее 48, а остальное все так же.
Стрелки совпадают, если векторы равны. Удобно действовать через скалярное произведение: это произведение длин на косинус угла, длины равны единице, а при совпадении угол равен нулю. Так что надо, чтобы скалярное произведение равнялось единице.
Его можно вычислить, перемножим компоненты векторов и сложив результаты. Получим
cos(4πt)cos(48πt) + sin(4πt)sin(48πt) = 1
Применим формулу косинуса разности; если вы забыли ее, я скоро расскажу, как ее вывести. Она сводит уравнение к простому:
cos(44πt)=1
Косинус равен единице, если аргумент нуль — и через период. Получаем
44πt = 2πk, k целое
При этом t должно быть не меньше нуля и меньше единицы: нам же надо в пределах суток, а t=1 это уже полночь, начало новых.
Получаем t=k/22 в долях суток или t=12k/11 в часах. И очевидно, что k от 0 до 21, что дает 22 раза. "Красиво" стрелки совпадут только в 12 и в 0 часов.
Теперь перпендикулярность стрелок. Изначально напрашивается неверный ответ 48, ведь дважды в час, нет? После первой задачи кажется, что 44, ведь на каждое совпадение две перпендикулярности. Проверим.
Всю работу мы уже проделали. Скалярное произведение должно равняться нулю, что приводит к уравнению
cos(44πt)=0
На периоде косинус равен нулю два раза, при 90 градусах и при 270. Так что
44πt = π/2+πk, или t=(1+2k)/88.
Это в долях суток, а в часах t=3(1+2k)/11. Нам надо, чтобы 0<(1+2k)/88<1, откуда -0.5<k<44. Но k у нас целое, так что от 0 до 43: всего 44 варианта, да.
Вопрос к тебе, мой читатель. Как тебе проще решать такую задачу: через векторную алгебру и тригонометрические уравнения, как мне, или подсчетом числа совпадений, или тебе и так ясно: по совпадению на час минус два совпадения в 12 дня и ночи?