На заметку о двумерности сферы поступило несколько комментариев в духе "сфера трехмерна". Комментаторы, не будучи математиками, могли бы хотя бы заподозрить, что математик знает лучше. Но не заподозрили.
Я понял этот феномен, уважаемые друзья. И посвятил ему отдельный материал, а сейчас хотел бы внести ясность в понятие размерности.
Итак, размерность, если по-простому, это минимальное количество координат, необходимое для различения точек данного множества. Вот, например, точку сферы определяют долгота и широта, две координаты. Точку квадрата тоже две. И точку на конусе две. А вот для шара надо три.
По поводу независимости: независимость координат означает, что ни одну нельзя выразить через другие. Это то же самое, что минимальность: если одну можно выразить через другие, то ее можно исключить без потерь.
Кривая по определению одномерна, так как может быть задана одной координатой. Например, натуральным параметром: длиной кривой, отсчитанной от одного конца. Или просто от любой точки, но тогда параметр может быть отрицательным (если отсчитывается в другую сторону). Окружность одномерна, спираль одномерна, отрезок прямой тоже одномерен.
Здесь вообще неважно, куда данное множество вложено. Размерность пространства, в которое можно вложить данное множество, это не размерность множества! Прямые одномерны, и не важно: сами по себе они рассматриваются, лежат на плоскости, в пространстве, или в 4-пространстве-времени.
Да, круг можно положить на плоскость, и окружность тоже, а вот на прямую ни то, ни другое не положить. А спираль и на плоскость не ляжет. И сфера не ляжет. А в пространстве размерности три все хорошо. Но в него не влезет двумерная бутылка Клейна...
Вот капитан надводного корабля работает с двумя координатами. Долгота-широта, или просто "полный вперед-назад и влево-вправо руля". И командир танка тоже. А вот капитан подводной лодки или пилот самолета работают в трех измерениях (и неважно, что диапазон третьей координаты ограничен).
Даже если есть холмы-долины, у танка все равно есть только два направления: вперед-назад и влево-вправо. Эти топографические особенности играют роль гравитации: в гору больше расход, под гору труднее тормозить... из танка это все выглядит как неведомая сила.
А для капитана поднятие/опускание за счет прилива или сейш может быть несущественно, а вот течения могут играть роль "неведомой силы", и их можно описать как своеобразную кривизну. Танку труднее ехать в гору, а кораблю — идти против течения.
Кстати, танк или тот же капитан двигаются не по поверхности земной сферы. Это не сфера, с горами и долинами-то! Но координаты на сфере применимы, так как — гомеоморфизм.
Давайте проследим эту мысль на аналогии. Пусть танк ездит по плоской области. Она двумерна и, более того, она лежит на плоскости. То есть двумерна даже в смысле моих не слишко грамотных комментаторов.
Но пусть на ней есть небольшие детали рельефа: холмы, долины, овраги, горные пики. Они малы по сравнению с масштабами области, но они есть. И формально эта область уже совсем не плоскость! Но по-прежнему двумерна.
Более того. Можно взять отрезок (лежит на прямой) и согнуть (получится дуга на плоскости), а потом согнуть еще раз (уже кривая в пространстве). Формально можно согнуть так, что получится кривая в 4-пространстве или вообще в каком угодно; но это все равно одномерная кривая. При этом веревка остается одномерной, хоть свитер из нее свяжи. Свитер-то вложен в трехмерное пространство, шарф можно уложить на плоскость, но все это одномерная нить.
Для задания прямой в пространстве нужно три координаты; прямые у нас что, трехмерными стали? Да, их три, но уравнение прямой связывает их так, что по одной определяются две другие. Или по одному параметру определяются все три. А точки сферы имеют три координаты (в 3-пространстве), но уравнение связывает их: две определяют третью. Или две координаты на сфере определяют все три пространственные.
Продолжим разговор о размерности в одной из следующих заметок.