Всем привет. Планирую серию заметок по топологии, эта первая, и немного умозрительная. Я хочу показать вам, как эфемерно "реальное пространство", насколько это понятие шатко и ненадежно.
Топология — это область математики, изучающая те свойства фигур, которые не меняются под действием весьма общего класса преобразований: гомеоморфизмов. Две фигуры гомеоморфны, если между ними есть взаимно-однозначное соответствие, причем в обе стороны непрерывное.
Что это значит? Взаимная однозначность — это запрет слеплять две и более точек в одну: каждая точка одной фигуры переходит в одну точку другой, и никак иначе. Непрерывность означает, что если точки на одной фигуре достаточно близко, то и на другой тоже близко.
Да, я сильно упрощаю! В топологии определяют непрерывность и без расстояний и "близости", но нам это пока не нужно.
Получается такая "резиновая геометрия" или "пластилиновая". Топология изучает только те свойства, которые не меняются при растяжениях, перекручиваниях, изменениях формы, лепке... Нельзя только разрывать (непрерывность!), склеивать (непрерывность в другую сторону) и сминать (взаимная однозначность).
Общеизвестно, что шар и тор — топологически различны. Никак нельзя сделать из одного другое без разрывов и склеек. Число "дыр" есть топологический инвариант. Через него определяется полная кривизна, которая, как доказал Гаусс, тоже инвариант. Это уже физика и вообще близко к природе. Запомним это...
Теперь возьмите полоску бумаги и склейте узкие стороны. Математически мы отождествили точки двух сторон прямоугольника. Получился цилиндр. Он, конечно, полоске не гомеоморфен. Но кривизна равна нулю.
Если перед склейкой мы перекрутим полоску, получим ленту Мёбиуса. У нее одна сторона и один край: если вы этого не знали, изготовьте ее и проверьте, получите удовольствие. Лента Мёбиуса не гомеоморфна ни исходной полоске, ни цилиндру.
Пока всё идет нормально, но давайте перекрутим полоску дважды: на 360 градусов. Получится еще одна "лента", не похожая ни на цилиндр, ни на ленту Мёбиуса.
Однако она гомеоморфна цилиндру! В самом деле, точки переходят одна в одну, непрерывность тоже есть (склеиваются-то те же самые точки). Получается, что с точки зрения "резиновой геометрии" наша "лента" и цилиндр — это одно и то же.
Однако в трехмерном пространстве эти две фигуры различны, и переделать одну в другую без разрывов и склеек вам не удастся. А в четырехмерном пространстве это возможно. Получается, что четырехмерное пространство, хоть нам и недоступное, все-таки где-то рядом.
Давайте зайдем с другой стороны. Программируя игру-ходилку, мы позволяем спрайту двигаться в окне влево-вправо и вверх-вниз. Мы можем отождествить точки краев так, чтобы уйдя за правый край спрайт появлялся слева. Фактически мы превратили прямоугольник в цилиндр.
Можно сделать и ленту Мёбиуса, запрограммировав переход так, чтобы уход за правый края внизу окна сопровождался выходом слева вверху, и наоборот. Теперь край один, что легко проверить. Двигаясь вправо, легко обойти оба края.
А если перекрутить два раза? Тогда уход при данном y сопровождается выходом при 1-(1-y). Очевидно, что это тот же цилиндр! На бумажках это новая фигура, ее преобразование в цилиндр в трехмерном пространстве невозможно, а алгоритмически это та же самая фигура. И топологически та же самая.
Вы согласны, что многомерное пространство — не выдумка математиков?
Продолжаем. Можно отождествить ("склеить") два оставшихся края. На бумажке это уже сложнее, потому что локально кривизна будет меняться (а бумага — натягиваться), но итог ясен: получится тор-бублик. Он тоже плоский, полная кривизна у него нулевая. Алгоритмически всё просто: уход вверх есть выход снизу, уход вправо — выход слева. Нулевая кривизна тем более очевидна.
А если склеивать с перекрутом? На бумажке это у вас не получится: никак не подвести один край к другому нужным образом: стенка мешает. Можно только проделать отверстие в стенке, протянуть туда кончик и там склеить. Но это нельзя.
Такая поверхность, которая в четырехмерном пространстве существует, называется Бутылка Клейна. И чёрт бы с ней, но ведь алгоритмически она реализуется легко: выход справа при каком-то y сопровождается входом слева при том же y, а выход вверх при данном x сопровождается выходом снизу при 1-x. Что-то вроде двумерной ленты Мёбиуса.
Вот и получается, что трехмерное пространство, конечно, накладывает определенные запреты, но это частности. Самые простые геометрические конструкции подсказывают, что мир сложнее. Да, физика заперта в трехмерном пространстве (плюс время), хотя в этом тоже уже есть сомнения. Но это не повод считать многомерные пространства какой-то выдумкой. Математику не надо это объяснять, но неспециалисту не всегда очевидно. Вопрос только в том, что наблюдаемо, а что нет, и как наблюдаемо, если да.
Например, четырехмерное пространство-время ОТО, конечно, вложено в какое-то плоское пространство достаточно большой размерности. Теорема Уитни (о ней в другой раз) гарантирует вложение в пространство размерности 11. Возможно, можно и меньше, но никаких гарантий, что хватит 5 — нет. Ну и что? В этом пространство нет физики, но само оно есть. Так же, как с нашими лентами: их нельзя распутать в трехмерном пространстве, но они одно, если посмотреть вдумчиво.
