Давайте-ка внесем ясность в употребление кривых и прямых"дэ". Ну, и окрестности оглядим. Как обычно.
Итак, есть такое понятие, как производная. Если функция (величина) зависит от одной переменной (пусть это время), это скорость изменения величины. Грубо говоря, чуть сдвинем время, величина чуть изменится; возьмем разность, поделим на прошедшее время. Получим среднюю скорость за этот интервал. Интервал можно уменьшать, при этом средняя скорость будет приближаться к некоторому значению, которое называется мгновенной скоростью.
Например, пусть выпрыгнувший в окно любовник (шары-мячи-лифты немного надоели, правда?) падает равноускоренно, так что его расстояние от окна меняется как 5t², t — это время в секундах. Какую мгновенную скорость он имеет в разные моменты своего полета? Выберем момент t. В этот момент он пролетел 5t². Ко времени t+dt он пролетит 5(t+dt)²=5t²+10tdt+5dt². Вычтем одно расстояние из другого: получим 10tdt+5dt²: именно столько он пролетит за время dt, точнее, от t до t+dt. Делим на dt, получая среднюю скорость: она равна 10t+5dt. Это верно для любого dt; но мы берем все меньше, и видим, что предел при dt→0 есть и равен 10t.
Конечно, в данном примере можно было огород не городить; но зато понятно.
Производную обозначают по-разному, один из вариантов: df/dt, в виде дроби.
Ситуация усложняется, если функция зависит от двух или более переменных. Одна пусть опять время, а другие описывают точку в пространстве. Это называется переменным полем: в каждой точке пространства задана величина, и они еще и меняется во времени.
Например, рассмотрим температуру воздуха вблизи земли. Пространство двумерно, долгота и широта. В каждой точке можно померять температуру, и она может быть разной. И еще и от времени зависит.
Есть понятие частной производной по времени. Это мы берем точку в пространстве, ставим термометр (жестко крепим к стене!) и меряем температуру. Получаем зависимость от времени при одних и тех же значениях координат. И от нее берем производную.
Частная производная обозначается тоже в виде дроби, но значки дифференциала кривые: ∂f/∂t.
По направлению в пространстве тоже можно взять производную. Меряем температуру одновременно здесь и чуть отступив в данном направлении (оно указывается вектором n единичной длины). Берем разность, делим на расстояние, переходим к пределу... Это уже не скорость, а показатель изменчивости в пространстве. Если производная большая, то температура меняется в пространстве сильно. Если малая, то слабо.
Обозначается как и частная, только вместо x указываем вектор направления: ∂f/∂n. Если вектор координатный, вдоль оси, то можно указать координату, получится частная производная по пространству: ∂f/∂x.
Вектор из частных производных называется градиентом, обозначается grad(f), и производную по направлению n можно выразить через него:
∂f/∂n=grad(f)n
Осторожно! Дифференцировать (брать производную от) реальные измерения опасно! Незначительный шум может увеличить погрешность в разы, вплоть до 100%. Это очень понятно, если представить, что при маленьком смещении изменение температуры из-за погрешности может быть больше, чем из-за изменчивости. Ну, или если посмотреть на формулу sin(100x): синус-то больше единицы не может быть, хоть сотня там множитель, хоть что, а вот производная запросто.
Теперь полная производная. Пусть функция зависит от времени и координат, но мы движемся в пространстве. Например, едем по моему городу на автомобиле с термометром. Термометр показывает температуру, которая как-то меняется, и от этой зависмости можно взять производную. Она покажет изменчивость температуры воздуха вдоль пути: и в силу того, что температура изменчива в пространстве (у воды теплее, на горке холоднее), и из-за того, что теплеет или холодает. Например, у воды теплее, но пока я еду с горки через пробку, уже стемнело и стало холоднее. В итоге термометр показывал одну и ту же температуру.
Полная производная обозначается как обычная, и тут возможна путаница. Всегда надо следить, сколько у функции аргументов: df/dt, f=f(t,x), x=x(t).
Полную производную можно выразить через частную по времени и производную по направлению в пространстве. При малом dt приращение состоит из трех частей: приращения во времени, которое описывает частная производная по времени; изменчивости в пространстве, которое улавливает производная по направлению (с учетом еще сдвига по пространству vdt, которое выражается через dt и скорость v, причем скорость "кодирует" и направление, и величину); третий компонент — это ошибка, которая, однако, мала даже в сравнении с маленьким dt. В пределе она исчезнет. В итоге получаем формулу
Теперь посмотрим, как это работает. Рассмотрим море и координаты, привязанные к Земле. У данной точки в воде есть характеристики: температура, соленость, да даже и скорость течения. Они меняются во времени и изменчивы в пространстве. Но в данном месте они меняются как в силу каких-то физических причин, так и из-за движения воды. Грубо говоря, принесло сюда холодную воду, вот термометр на якоре и показал снижение - а так-то солнце светит, вода должна греться. Поэтому в уравнении будет полная производная, либо частная, но тогда возникнет адвективное слагаемое, описывающее перенос харакетристики (в том числе и самой скорости) через скорость и производную по пространственной координате.
Другой пример из той же области. Одно из уравнений движения сплошной среды — уравнение неразрывности. Оно описывает закон сохранения, по сути. Словами это выражается так: изменение плотности в данном объеме определяется потоком вещества через границу этого объема. Математически это записывается двумя способами:
В первом уравнении слева частная производная. Дивергенция (div) описывает поток через границу небольшого объема, содержащего данную точку: если сколько втекло слева, столько вытекло справа, она нуль; если вытекает больше, чем втекает, она положительна; если меньше, то отрицательна. Берем прибор, который укреплен на столбе. Умножаем плотность на скорость: получаем вектор потока массы: одна и та же скорость может уносить в секунду больше грамм, если плотность выше. Дивергенция этого вектора показывает, сколько грамм ушло из объема: ровно настолько снизилась плотность. Это и описывает уравнение.
Во втором уравнении производная полная. Это случай прибора на воздушном шаре, который летит по ветру. Он связан с этим воздухом, поэтому плотность его меняется только за счет вытекания воздуха из объема. Поэтому дивергенцию скорости, то есть вытекание воздуха, мы умножаем на плотность "здесь и сейчас".
Уравнения эквивалентны друг другу. Если раскрыть полную производную, выделив слагаемое со скоростью, в первом слагаемом, то во втором применим формулу для дивергенции: div(sv)=sdiv(v)+vgrad(s): здесь v вектор, а s — скаляр. И получим первое уравнение.
Подведем промежуточные итоги:
- Полная производная описывает изменение величины, распределенной в пространстве и изменчивой во времени, вдоль некоторой траектории.
- Полная производная по времени не зависит от пространственных координат — только от времени.
- Она жестко привязана к уравнению движения в пространстве, к траектории.
Теперь возьмем уравнение Максвелла, одно из тех, в которые входит производная по времени. Она частная. Например:
Можно ли "заменить" производную на полную? Чисто математически, оставим пока физику за скобками. Нельзя.
Нельзя потому, что слева не будет пространственных координат! А справа будут. Если подставить уравнение движения в правую часть, получится обыкновенное дифференциальное уравнение, а не в частных производных: эти уравнения не могут описывать никакого поля.
Кстати, уравнения Максвелла в вакууме сводятся к волновому уравнению, описывающему распространение электромагнитных волн. С полной производной такой финт не пройдет, волновое уравнение — в частных производных.
Ну, и фундаментальные уравнения не могут быть привязаны к траектории какой-то точки, правда?