Запасов рома мало на корвете
Осталась бочка, только лишь одна.
Но пуля из испанского мушкета
Ее пробила прямо возле дна.
Бесценный ром стекает в море с борта,
Запасов на корвете больше нет.
Не менее недели плыть до порта...
Безрадостен пиратский наш корвет.
Четыре года не были мы дома,
Четыре года бороздим моря.
Но чтоб на судне не хватало рома -
Такого не было пока ещё ни дня!
Раздражена команда и уныла
Победа радости совсем не принесла.
Двенадцать лишних бочек надо было
Поставить в трюме, да и все дела...
(Пиратская песня)
После этого случая Билли Бонс, изучавший науки в Оксфорде и Саламанке, решил вычислить, за сколько времени вытечет ром из пробитой бочки. Бочка имеет форму цилиндра, диаметр бочки D и ее высота H известны. Площадь пробоины s тоже задана.
Весь вопрос в скорости истечения рома. Очевидно, скорость эта зависит от количества рома в бочке, то есть от текущего уровня h. И ещё от ускорения свободного падения g. Причем Бонс знал, что из этих двух величин можно сложить только одну комбинацию с размерностью скорости, а именно √(gh), и скорость истечения пропорциональна этой величине.
Кстати, Бонс сообразил, что лучше записать эту величину в виде √(2gh): тогда равный единичке коэффициент означает постоянство суммы кинетической энергии mv²/2 вытекающей жидкости и ее потенциальной энергии -mgh, то есть выражает закон сохранения. А коэффициент меньше единицы учитывает потери на вязкое трение.
Экспериментально было установлено, что коэффициент близок к 0.6 и формула имеет вид
v = 0.6√(2gh).
Но что же дальше?
Дальше Бонс посмотрел, к чему приведет вытекание маленького объема жидкости за малое время dt. Длина струи, если бы она могла вытекать с сохранением формы, равна vdt. Объем вытекшей жидкости равен svdt. На эту же величину уменьшится объем в бочке, то есть из бочки уйдет ¼πD²dh. В итоге получается уравнение
¼πD²dh = -svdt,
или
¼πD²dh = -0.6s√(2gh)dt.
Упростим его:
πD²dh/√h = -2.4s√(2g)dt.
Взяв интеграл от левой и правой частей, получаем
√h = С - Kt, K = 1.2√(2g)s/(πD²).
Константу С получим из начального условия: бочка была полна, то есть h(0)=H. Получится
h = H(1 - (K/√H)t)².
Подставив в формулу h=0, Бонс вычислил время опорожнения бочки. Для него получилось уравнение
KT = √Н, то есть T = √H/K.
Бонс подставил в формулу характеристики бочки: D=4.167 фута, H=5.33 фута, s = 1 кв.дюйм, g=33 фута на секунду за секунду. Штурман решил перевести всё в дюймы и получил D=50, Н=64, s=1, g=400.
Тогда 1/К=213, а Т = 1850 секунд = 30 минут.
То есть, у пиратов около получаса на спасение рома.
На самом деле нет, так как пираты понижают h путем отчерпывания рома. К скорости надо прибавить постоянную компоненту и решить уже другое уравнение. Это разговор для другого раза.
***
Что в этой формуле любопытно? Время истечения рома оказалось конечным, ром полностью вытекает, никакой асимптотики. Хотя скорость стремится к нулю под конец, но ее хватает.
Во-вторых, время истечения пропорционально площади сечения бочки и ее корню из высоты (и обратно пропорционально площади дырочки). Можно сказать, что время пропорционально объему бочки, деленному на корень из высоты. То есть, если менять высоту бочки при сохранении объема, то можно выиграть во времени: из более приземистой бочки вытекать будет дольше. Причина в том, что важно отношение площадей сечения бочки и дырки, а не высота. Но зависимость типа квадратного корня тоже любопытна.
В третьих, мы смело оперировали величиной с размерностью "корень квадратный из дюйма", и ничего: сократился. Бонс мог бы принять высоту бочки за единицу и упростить свои рассуждения. Везде H была бы 1, а в итоговом-то ответе ее вообще нет. На отношение площадей она не влияет, площади можно было считать хоть в квадратных футах, хоть в квадратных дюймах, хоть даже в акрах. Единственное, что на нее пришлось бы поделить g, чтобы выразить его в соответствующих единицах. Ну было бы не 400, а 400/64: так и так расчеты проще.
Наконец, это пример уравнения с нарушенной единственностью решения. Конечно, при нормальном начальном условии все хорошо, но вот в конце, когда ром кончился, начинаются ужасы. Вроде бы кончился и кончился, дальше его не будет ни больше, ни тем более меньше, уровень останется нулем. Но формула предсказывает рост уровня, и удовлетворяет уравнению. Больше того, уравнению удовлетворяет решение, равное нулю после истечения всего рома, а потом вдруг он начнет опять наполнять бочку в какой-то момент времени.
Конечно, это математический артефакт, такого не может быть; формально формула применима только до h=0 и не далее. Проблема появилась при несколько безответственном возведении в квадрат: именно оно превратило отрицательную правую часть в положительную. Если договориться, что корень мы берем только положительный, выход в "минус" и означает нарушение условий.
Если подняться ещё выше, мы увидим, что делили на корень из h. И вот это запрещает переход через ноль. Даже достижение нуля теперь под вопросом, но здесь нам повезло, интеграл сходится.
Вот теперь всё сошлось. Но уравнение в окончательном виде является примером того, что бывает, когда в открытом море кончается ром...