Привет, друзья. Сегодня поговорим о злоупотреблении целочисленной делимостью.
Давайте вспомним, что такое деление на территории натуральных чисел. Если число n делится на m, то n можно представить в виде km при каком-то натуральном k. Если не делится, то представление n=km+d, где d называется остатком и может быть от 1 до m-1. При этом d=0 соответствует делимости.
Теперь понятно, почему рациональные числа представляются периодическими десятичными (или любыми d-ичными) дробями. Делим числитель на знаменатель нацело, получаем "правильную" дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Умножаем числитель на 10, делим снова, получая первую цифру после запятой и остаток. Продолжаем в том же духе. Остатки рано или поздно начнут повторяться, и результаты деления, следовательно, тоже.
Пример. Возьмем знаменитое приближение числа пи: 22/7. Делим нацело, получаем 3 целых, 1 в остатке. Умножаем на 10, делим нацело: 1 целая, 3 в остатке. Продолжаем: 4, 2; 2, 6; 8, 4; 5, 5; 7, 1. Цикл замкнулся: мы вернулись к остатку 1. Теперь серия повторится, и получим 3.(142857)(142857)... Отмечу, что 3.142 является неплохим приближением к числу пи: округленное до трех знаков, оно так и выглядит.
В Талмуде есть приближение, закодированное вообще хитро. Там сказано, что длина окружности в три раза длиннее диаметра. Но для окружности употреблено слово КаВА (קוה). Слово КаВ означает "линия" и оно мужского рода. Здесь употреблено в неверном женском: это как если бы мы написали "один линий". Сумма числовых значений букв К (ק) и В (ו) составляет 100+6=106. Лишняя буква "хей" (ה), которая читается "А", имеет значение 5. Получается, что надо брать 111 вместо 106, то есть множитель равен 1.0472. То есть вместо числа 3 надо брать 3.1415. Хорошее приближение.
Есть такие "сeксуaльныe" числа, о которых я написал предновогоднюю заметку (и из-за нравственности роботов она не получила продвижения). Это от латинского слова "шесть" и это просто простые числа, отличающиеся на 6. Например, 5 и 11. Есть много пар, тройки, четверки и только одна пятерка.
Почему одна? Ну, потому что если у числа n остаток от деления на 5 равен 1, то у числа n+6 он равен 2, и так далее. Из пяти чисел в рядок, отличающихся на 6, одно точно будет делиться на 5. Чтобы все были простыми, необходимо, чтобы одно число делилось на 5 и было простым. Такое число одно, это сама 5-ка. Так что единственный претендент на игривую шестерку — это 5, 11, 17, 23, 29. Все числа простые, так что вот она.
Теперь поговорим о делимости на девять. Признак мы хорошо помним со школы: число делится на 9, если сумма цифр (в десятичной записи!) делится на 9. Более того, остаток от деления на 9 у этих двух чисел один и тот же. Это очень просто понять, если вспомнить, что число ABC есть A∙10²+B∙10+C. Каждую десятку можно записать как 9+1. Все, что умножено на 9, делится на 9 и в остаток не входит. Остается A+B+C.
Гарднер предлагает понятие "цифровой корень": цифры числа суммируются, потом цифры суммы суммируются и так далее, пока не останется одна цифра. Она имеет тот же остаток от деления на 9, что и исходное число: то есть это ЛИБО и есть остаток, либо это число 9, если остаток нуль. Понятие цифрового корня полезно тем, что остаток очень быстро определяется в уме.
Теперь фокус. Просим человека задумать число, умножить его на девять и прибавить свой возраст. Зная результат, мы знаем остаток от деления возраста на девять и, следовательно, возраст с точностью до 9 лет. Пример: человеку 42 года, он задумал число 16, умножил на 9 и прибавил возраст: получилось 186. Складываем цифры: 15. Еще раз: 6. Это цифровой корень, он же остаток от деления на девять.
Собеседник явно старше 6 лет, как и 15, и 24. Прикидываем, может ли ему быть 33 и приходим к выводу, что он старше. Следующий вариант 42. Похоже? Если нет, то уже 51. Обычно можно определиться.
Помимо умножения на девять, есть и другие способы обеспечить делимость на девять. Можно попросить задумать число, сложить его цифры и вычесть результат из задуманного числа. Можно попросить переставить цифры задуманного числа и вычесть из большего меньшее. Можно попросить приписать к числу девятку с любой стороны и вычесть задуманное число. Можно попросить выполнить любые операции, какие хотите, и потом одну из вышеперечисленных. Можно для вящей запутанности попросить переставить как угодно цифры числа, вставить девятки и нули в любые позиции, а также поровну восьмерок и единичек, и так далее.
Вот еще фокус из Гарднера. Попросите написать в столбик длинные числа. Пока их пишут, вычисляйте в уме цифровой корень. Потом попросите сложить числа, сами не смотрите. Потом зачеркнуть одну цифру и показать/назвать остальные, можно не по порядку. Вы мгновенно определите пропущенную цифру.
То же годится для умножения: цифровой корень произведения равен цифровому корню произведения цифровых корней.
Вот еще фокус "Число Шехеризады". Просим записать трезначное число, потом приписать к нему его же. Получится число шестизначное. Просим его поделить на 7, на 11 и на 13 (можно разных людей). Имеется в виду, поделить результат предыдущего деления. "Удивительным образом" поделить удастся. Результат деления сообщают фокуснику и он называет задуманное число.
Фокус попроще: задумать треххначное число, записать его наоборот, вычесть из большего меньшее. Сообщить первую цифру. Фокусник по ней восстановит разность. Дело в том, что в середине будет девятка, а сумма крайних цифр тоже 9. Например, от 142 переходим к 241-142=099.
Фокус, который мне очень нравился классе в шестом. Задумать число от 1 до 10. Далее его надо умножить на три, разделить на два. Если не делится, то собеседник обычно скажет об этом, и надо запомнить единичку, а собеседнику велеть округлить вверх. Повторить процедуру, если не делится на два, добавить двоечку. В итоге в уме держим 0, 1, 2 или 3. Теперь просим вычесть 9: если удается, добавляем 4. А если не удается, то еще раз просим вычесть 9. Если опять получилось, то добавляем еще 4. Сумма запомненных чисел и есть задуманное.
К книжке М. Гарднера "Математические чудеса и тайны" мы еще будем обращаться. Ох, сколько времени в детстве я провел, вникая в суть!