Есть такая задача: лиса гонит зайца, держа курс прямо на него. Заяц бежит по прямой с постоянной единичной скоростью, лиса бежит с постоянной по величине скоростью, вектор которой направлен на зайца. Написать уравнение кривой, по которой бежит лиса, и время до поимки зайца, если таковая состоится. Начальное положение задано: скорость лисы перпендикулярна скорости зайца, расстояние равно единице.
Когда я был то ли на первом курсе, то ли еще в школе, один немного хвастливый знакомый рассказал мне об этой задаче и заявил, что мгновенно написал уравнение кривой. Я решил эту задачу много позже, и уравнение там, мягко говоря, неочевидное.
Интересно, соврал мой знакомый или нет?
Если вы знаете решение лучше, прошу поделиться. Я покажу, как решил ее я.
Уравнение кривой y(x) нам надо найти. Обе координаты меняются во времени, то есть x=x(t), y=y(t). Скорости вдоль осей обозначаем штрихами.
Квадрат длины участка кривой, проходимого за время dt, равен
( (x')² + (y')² ) dt²
Так как скорость лисы постоянна и равна u, то получаем первое уравнение:
( (x')² + (y')² ) = u².
Второе уравнение получается, если мы запишем уравнение касательной к кривой в произвольной точке (x,y) это кривой:
Y - y = (dy/dx) (X - x).
Эта касательная пересекает ось х в точке, в которой Y=0. По условию, там находится заяц, то есть X=t: заяц с единичной скоростью добежал от нуля до этой точки за данное время t. Получаем второе уравнение:
- y = (dy/dx) (t - x).
Выразим отсюда время:
t = x - y (dx/dy)
Продифференцируем:
dt = dx - dy (dx/dy) - y d(dx/dy)
Замечаем, что кое-что можно сократить: dy (dx/dy)=dx. Остается
dt = - y d(dx/dy)
Давайте обоначим производную по y обратной кавычкой: dx/dy=x`. Тогда
dt = - y dx` = -yx``dy
Теперь можно выразить производные по времени:
y' = dy/dt = -1/(yx``), x' = dx/dt = -x`/(yx``).
Подставляя это в первое уравнение, получим
1 + (x`)² = u²(yx``)²
Обозначим x`=z. Тогда уравнение получается такое:
1 + z² = u²y²(z`)².
Можно разделить переменные:
Интегралы табличные, и мы приходим к
x` = z = sinh( ln(y)/u )
Или
Интегрируя второй раз, мы получаем
Константу С получаем из начального условия: когда x=0, y=1: С=-u/(1-u²).
Особый случай u=1. Там получится при втором интегрировании
2x = ½y ² - ln(y) + С, С = -½.
Теперь анализируем результат. При u=1 кривая ось х не пересекает. В самом деле, для этого нужно y=0, а логарифм такого не допустит.
То же самое и при u<1. Слагаемое с отрицательной степенью не допускает обращения y в ноль. Но асимптотическое стремление будет, так как х по другому к бесконечности не устремить.
Если же u>1, то лиса ловит зайца в точке C/2.
Что и изображено на иллюстрации.
Если хотите поиграть, вот команды R:
u=5; Y=1
C=-u/(u+1)*Y^((u+1)/u)+u/(u-1)*Y^((u-1)/u)
y=Y-seq(1000)/1000*Y
x=(u/(u+1)*y^((u+1)/u)-u/(u-1)*y^((u-1)/u)+C)/2
plot(x,y,type='l');
Особый случай:
u=1; Y=1; C=log(1)-Y^2/2; y=Y-seq(1000)/1000*Y; x=(y^2/2-log(y)+C)/2
Если вы читали внимательно, то заметили: я "замылил" константу при первом интегрировании. Но это сошло с рук, потому что она определяется направлением касательной к траектории лисы в начальной точке (направлением вектора начальной скорости лисы), а оно "вниз по оси у", то есть константа равна нулю (x`=0).
Однако эта константа необходима, если заяц изначально находится не в точке x=0, а в какой-то другой x=Z. Эти случаи мы разберем в слеюующий раз!
А пока можете поразмыслить над таким вопросом. Если скорость лисы равна скорости зайца, то лиса догонит зайца хотя бы асимптотически, или между ними будет несократимое расстояние и зайцу ничего не угрожает? На этот вопрос мы тоже ответим через неделю.
Удачи в погонях!