Парадокс Банаха-Тарского довольно известен, но даже профессионалы не всегда знают идеи доказательства --- а они любопытные. Парадоксом эту теорему называют из-за резкой антиинтуитивности. Итак: шар допускает разбиение на конечное число множеств, передвижением (перенос и поворот) которых можно образовать два шара того же радиуса. Иными словами, апельсин можно разделить на несколько (неизмеримых) долек так, что из них можно сложить два апельсина.
Конечно, эти части неизмеримы в любом разумном смысле. Но они есть, если, конечно, мы принимаем аксиому выбора.
Начнем с абстрактной конструкции. Рассмотрим свободную группу G с двумя образующими. Группа --- это множество, в данном случае --- множество слов из четырех букв X, Y, x, y, и есть еще буква e. Символы все различны. Примем такие равенства: Xx = xX = e, Yy = yY = e, Te=T (здесь T --- любой из символов). То есть маленькая буква --- обратная к большой, а e --- единица группы, пустое слово. Считаем, что слова --- несократимы, то есть все возможные сокращения выполнены. Именно поэтому буква e в группе есть, но в словах ее нет, кроме пустого слова e.
Групповой операцией будет конкатенация: приписывание второго слова к первому справа и выполнение сокращений. Обратным к данному слову будет слово, записанное задом наперед с заменой заглавных на строчные и обратно.
Рассмотрим слова, начинающиеся с символа X; их множество обозначим G(X). Если мы ко всем этим словам припишем слева x, мы получим все слова, кроме тех, что начинаются с x. Поэтому объединение xG(X)+G(x) --- это вся группа G. (Здесь плюс означает объединение множеств).
Получается, что мы разбили группу на четыре части и из двух, применив групповую операцию, восстановили всю группу. Из второй пары можно восстановить второй экземпляр. То есть, данное множество с данной групповой операцией можно удвоить.
Пока никаких парадоксов! Множество целых чисел образует группу по сложению, с нулем в качестве единицы группы. Можно разбить их на четные и нечетные и взяв нечетные числа и прибавив к ним единицу, восстановить всю группу. Не совсем то, но похоже и, главное --- без чудес.
Немного жизни в абстрактную конструкцию можно добавить, если описать группу как множество поворотов: X это поворот на некоторое иррациональное число оборотов вокруг некоторой фиксированной оси по часовой стрелке, Y --- поворот вокруг другой оси на другой иррациональный угол тоже по часовой стрелке, а x и y --- повороты на те же углы вокруг тех же осей, но против часовой стрелки. Такая группа может быть удвоена.
Но группа поворотов --- это множество точек на сфере. Точки можно считать эквивалентными, если они переводятся одна в другую некоторой серией выбранных поворотов (словом из G). И вся сфера распадается на множество классов эквивалентности.
Выберем по одной точке из каждого класса (привет, аксиома выбора!). Получим множество B на сфере; всевозможные его повороты позволят собрать всю сферу.
Но если взять серии поворотов множества B, начинающиеся с X, это будет лишь кусок сферы. Однако возьмем этот кусок и повернем его на x, а также добавим тот, который получается из B всевозможными поворотами G(x). Получится вся сфера! Вторая получится, если использовать повороты, начинающиеся с Y и y.
Видите? От удвоения абстрактной группы мы пришли к удвоению группы поворотов, а от нее --- к удвоению сферы. Вместо сферы можно взять шар без центра, прицепив к точке сферы радиус шара в эту точку. Так удвоим шар без центра.
Центр не проблема, для него есть конструкция, представляющая и самостоятельную ценность. Возьмем окружность и на ней точку. Выберем поворот П на иррациональное число оборотов: положения точки после поворота никогда не совпадут. Возьмем множество Q = П+2П+3П+..., то есть положения точки после одного поворота, двух, трех и так далее. Сама точка туда не входит.
Однако, если мы повернем множество Q, как твердое тело, на тот же угол в противоположную сторону, то 4П перейдет в 3П, 3П --- в 2П, 2П --- в 1П, а 1П --- в исходную точку.
Получается, что поворот множества увеличил его на одну точку: там все те же точки, плюс еще одна.
Парадокс, если вдуматься, не такой и парадоксальный. Мало ли феноменов порождает аксиома выбора! Есть множества, неизмеримые в любом разумном смысле, и ладно. Но дело в том, что от этих странных парадоксальных эффектов никак не избавиться и приходится привыкать к тому, что они --- есть.
[1] Босс В. Лекции по математике. Том 12: Контрпримеры и парадоксы.