Обобщенные функции: производные и ряды

Продолжаем разговор об обобщенных функциях. В первой части обсудили идею их введения. Давайте кратко вспомним, в чем там дело.

Дело в следующем. Часто в одной точке функцию не определить как следует, и нужды нет. Пример --- скорость в виде |t|. Ускорение в нуле не определено (хотя можно что-то придумать), но оно и не нужно, строго говоря. Нам достаточно способа исследовать функцию в окрестности точки. Для этого надо умножить ее на единицу в окрестности точки и на нуль вне ее, и взять интеграл.

А тогда нам и не нужно определение функции как правила, задающего точкам (пусть не всем) значения в них. Достаточно, если мы можем вычислять такие "интегралы" --- выбрать пробную функцию и по ней указать, что получится.

Правда, чтобы увязать концы с концами, пробные функции полагаем гладкими, а не кусочно-постоянными, но это техника.

Собственно, как определить мгновенную скорость в точке по данным наблюдений? Брать путь, пройденный за малое время, ну и смотреть, что получится. А путь --- это скорость, умноженная на время. Ускорение тоже можно оценить, но умножать надо уже не на интервал времени, а на линейную функцию --- но это техника.

Итак, обобщенная функция --- это линейное правило, сопоставляющее пробной функции φ (гладкой и равной нулю вне некоторого отрезка) число. Для обычных функций f это интеграл ∫f(x)φ(x)dx по всей числовой прямой.

Как для обобщенной функции f определить производную f'?

Это такое правило: сопоставим функции φ то число, которое сопоставляет сама обобщенная функция f функции -φ'.

Для обычных дифференцируемых функций это совпадает с обычной производной, потому что интегрирование по частям:

∫f'(x)φ(x)dx = -∫f(x)φ'(x)dx,

интеграл по всей прямой, а терминальные слагаемые исчезают --- ведь φ(x) равна нудю вне некоторого отрезка!

Аналогично задаются старшие производные. Например, вторая производная f'' --- это правило, которое сопоставляет функции φ то число, которое сама f сопоставляет функции φ''.

Итак, производные у обобщенной функции есть все и всегда. Причем обычные функции, которые являются (не все) обобщенными, тоже обладают всеми производными в указанном смысле. Что приятно.

Например, функция "модуль", f(x)=|x|, непрерывна, но не дифференцируема в нуле. В нуле производной в обычном смысле нет. В других точках она есть, конечно. Обобщенная производная есть --- это функция знака, равная -1 для отрицательных и +1 для положительных значений. Разумеется, она совпадает с обычной производной там, где та определена. Значения в нуле нет, но оно для обобщенных функций роли не играет. Вторая производная модуля, она же первая для функции знака, это удвоенная дельта. Легко проверить, и это интересно сделать самостоятельно.

У дельты тоже есть производная, это диполь. И так далее.

Если импульс ударный, это сила, которая является дельтой по времени: до момента силы нет, после тоже, но за нулевое время передан ненулевой импульс. Пусть будет удвоенная дельта. Ускорение две дельты, тогда скорость --- функция знака, "до" шарик катился туда, "после" --- обратно. Путь шарика --- функция модуля, он непрерывен: сначала расстояние до стенки убывает, потом --- растет.

Черная линия --- модуль, это путь шарика, до удара и после; синяя --- скорость, красная --- ускорение (оно дельта). Дельта, конечно, нарисована приблизительно.

Есть теорема, что любая обобщенная функция есть производная некоторого порядка некоторой непрерывной (с оговорками).

Теперь ряды. Про ряды Фурье будет заметка, а пока скажу лишь, что ряд Фурье --- это разложение функции на некотором отрезке по синусам sin(nx) и косинусам cos(nx). Как на рисунке. При этом коэффициенты получаются интегралами от соответствующего синуса или косинуса и самой функции.

Разложение в ряд Фурье функции модуля (черная) на отрезке [-п,п], несколько приближений. Синяя линия --- два слагаемых, зеленая --- три, красная --- семь. Ряд сходится довольно быстро.

Но синусы и косинусы можно считать пробными (за пределами отрезка мы их гладко загоним в нуль --- это техника), и тогда коэффициенты Фурье легко получаются для обобщенных функций тоже. Для них можно записать разложение в ряд, и ряд будет сходиться как обобщенный, и к той функции, что его породила.

Например, дельта, которая описана правилом φ(0), дает для всех синусов нулевой коэффициент, а для косинусов --- один и тот же для всех.

Несколько приближений дельты рядом Фурье. Синяя лииня --- десять слагаемых, черная --- 25, красная --- сто.

На рисунке --- несколько сумм, дающих представление о сходимости к дельте.

Как известно, коэффициенты Фурье для обычной функции стремятся к нулю, и чем быстрее, тем функция более гладкая. У дельты, как видите, они к нулю не стремятся. У ее производной --- уже растут как n. То есть дельта "хуже" любой нормальной функции, а диполь хуже дельты. При этом коэффициенты Фурье обобщенных функций не могут расти быстрее степени n. Извините. Это объясняет стрелу времени в диффузии.

Кто не хочет переходить по ссылке: Краевую задачу для уравнения диффузии можно решить (с оговорками) через ряды Фурье для любых начальных данных, хоть даже и обобщенной функции; а вот в обратном времени --- нет, "начальное" распределение должно быть особенным --- по сути, тем, на чем остановилась диффузия в прямом времени.

Про применение обобщенных функций, на простых примерах --- будет третья часть.

До встречи.

Путеводитель по каналу