В следующей заметке обсудим, что сделал Пуанкаре, доказав, что преобразования Лоренца образуют группу. А сейчас: что такое группа, почему это полезно, и что означает. Итак...
Оглавление рубрики "Мой учебник"
Группа — это множество, на котором задана бинарная операция, обычно называемая сложением или умножением. Бинарная — значит, можно складывать (или умножать) два элемента. При этом результат должен попадать в то же множество (других и нет в определении), и должны выполняться некоторые условия:
- должен иметься нейтральный элемент е, который называют нулем группы (если операция сложение) или единицей группы (если умножение). Прибавление нуля (умножение на единицу), причем хоть справа, хоть слева, к любому элементу дает этот же самый элемент: ae=ea=a (здесь операция названа умножением);
- у каждого элемента должен быть обратный, так что при сложении получается нуль (при умножении — единица);
- еще требуется ассоциативность, позволяющая расставлять скобки: (a+b)+c=a+(b+c). Здесь операция обозначена как сложение.
Пример. Шифрование текста одномоментной заменой букв по схеме (например, ROT13) есть элемент группы преобразований при условии, что никакие две буквы не отображаются в одну и каждая буква переходит ровно в одну (можно в себя). А вот транслит группу преобразований совместного латино-кириллического алфавита не образует, по целому ряду причин.
Коммутативности не предполагается: менять местами слагаемые/множители в общем случае нельзя. Если можно, группа называется абелевой, и в них обычно (но не всегда) используется аддитивная терминология: нейтральный элемент называется нулем группы, а операция — сложением. Абелевость довольно редкое явление, на самом деле. Хотя как сравнивать редкость...
Примеры групп:
- числа (целые, рациональные, вещественные, комплексные) со сложением (абелева, как мы с ранней школы знаем);
- ненулевые числа (рациональные, вещественные, комплексные) с умножением (тоже абелева).
- Квадратные невырожденные матрицы с умножением (не абелева), а также любые матрицы одного размера по сложению (абелева);
- симметричные невырожденные матрицы (не абелева!) или просто симметричные по сложению (абелева);
- они же, но с определителем единица (по умножению, не авбелева); и вообще, групп матриц очень много.
- Группы поворотов: плоскости (абелева) или трехмерного пространства (не абелева) на любые углы или на кратные какому-то заданному.
Шуточку про "Сколько в Германии поворотов" знаете? Фактически надо описать группу поворотов на плоскости на углы, кратные 90 градусам. Там четыре элемента, два из которых можно не упоминать.
- Свободная группа с двумя образующими: состоит из слов из четырех разных букв a, b, A, B, плюс "пустая буква" (нуль группы), причем буква a обратна к А, а b — к B. Операция группы: конкатенация, сиречь приписывание слова к слову справа и сокращением подряд стоящих обратных. Так, aaBA+abBB=aaBAabBB=aaBbBB=aaBB. Играет важную роль в парадоксе Банаха-Тарского. Группа, естественно, не абелева.
- Сдвиг по траекториям автономного обыкновенного дифференциального уравнения. Элементы группы — сдвиги на сколько-то по времени вперед/назад. Это групповое свойство и обеспечивает "предсказуемость" траекторий и формальную обратимость стрелы времени в механике.
- Группа замен единиц измерения. Инвариантность к действиям из этой группы приносит свои плоды, примеры я уже приводил.
Примеры конечных групп:
- тривиальная, состоящая из одного единичного элемента;
- двоичная, в которой есть нуль и единичка, и правила обычного сложения, только 1+1=0.
- Двоичную группу можно обобщить до аддитивной группы вычетов по модулю n: это числа от 0 до n-1, а операция — остаток от деления обычной суммы на n. Абелева. Сюда входят выше упомянутые шифрования.
- Аналогично определяется мультипликативная группа вычетов по модулю n: остаток от деления на n обычного перемножения двух чисел от 1 до n-1. Тоже абелева.
- Группа движений кубика Рубика. Сразу ясно, что повтор серии движений рано или поздно даст нуль (ту же позицию, что была в начале). Не абелева.
Универсальный пример группы — это группа преобразований некоторого множества. То есть, группа перестановок элементов. Доказано, что любая группа может быть представлена в таком виде, причем на том же множестве, самой группы. Например, двоичная группа есть группа перестановок множества из двух элементов: нуль это "ничего не трогать", а второй элемент — это "поменять местами", и он обратный к себе. Легко проверяется, что все получается.
Скажем, если у многочлена менять коэффициент, двигая его по замкнутой кривой на комплексной плоскости, то корни тоже будут как-то двигаться по плоскости, но в итоге множество корней вернется к изначальному (многочлен-то опять такой, как был). Однако корни могут при этом поменяться местами. Возникает группа перестановок корней. Банально, но если преодолеть скуку и вникнуть, изучить эту группу, то можно понять теорию Галуа и доказать неразрешимость многочленов степени выше четвертой в радикалах, то есть невозможность в общем случае выразить корни через коэффициенты формулой.
Еще один важнейший класс групп — это группы симметрий, то есть такие преобразования некоторого множества, которые не меняют некоторый объект. Например, группа симметрий шара больше, чем группа симметрий куба, а та больше группы симметрий конуса, и так далее. Поэтому шар более симметричен, чем куб.
Уже сама идея может приносить конкретную пользу. Уравнение x²-1 имеет двоичную группу симметрий: один элемент группы: "у всех х поменять знак", второй, нейтральный: "не менять". Уравнение так и так не изменится, а значит, не изменится и множество его корней. Сами корни могут не меняться под действием группы (то есть, при смене знака), а могут меняться (меняться местами). Допустим, подобрали корень x=1; он переходит в -1, который обязан тоже быть корнем. Подробнее об этом в другой раз.
Или вот возьмем мультипликативную группу по простому модулю n, в которой n-1 элемент 1, 2, ..., n-1. Всякий ее элемент, умноженный сам на себя n раз, дает нейтральный (единицу). Это легко проверяется. Тогда x*x*...*x=1 (здесь n-1 множитель, звездочкой обозначена групповая операция), то есть x*x*...*x-1=0. Групповая операция есть остаток от деления на n результата обычного умножения. Так что мы получили, что остаток от деления на n числа x^(n-1)-1 равен нулю. То есть, это число делится на n для всех х от 1 до n-1. Это малая теорема Ферма.
Описав группу преобразований, которые объект не меняют, можно многое (а то и всё) о нем узнать. Например, длина кривой (дороги, скажем) не зависит от:
- выбора параметра (скорости движения по ней), то есть, параметра в формуле не будет;
- координат точек (выбора начала отсчета: Рим или Гринвич, или площадь Ленина); так что их в формуле тоже не будет;
- от направления касательного вектора, то есть от выбора направлений координатных осей. На всех картах длина дороги одна и та же; поэтому касательный вектор входит целиком, а не компонентами;
- от перестановок кусков кривой: можно разрезать карту на части и сложить иначе, и длина дороги не изменится. Поэтому в формуле должны быть значения касательного вектора для всех значений параметра, но входить должны аддитивно.
А если изменить единицу длины в s раз, то длина дороги изменится соответственно: тоже в s раз. Поэтому в формуле будет только длина касательного вектора, который есть производная радиус-вектора точек кривой по параметру. Теперь формула получается без проблем: длина кривой есть интеграл по параметру от модуля производной радиус-вектора по параметру.
Да и вообще, однопараметрическая группа симметрий уравнений движения гарантирует закон сохранения: величину, которая сохраняется. Это теорема Нётер. То есть, банальное "если время считать не в секундах, а в часах, то все скорости снизятся в 3600 раз, а ускорения в 12960000 раз, а уравнения свою форму не изменят" приводит к закону сохранения энергии.
Примеры операций, которые групповым свойством не обладают:
- скалярное произведение векторов (не вектор),
- векторное произведение векторов (нет ассоциативности, (ab)c не равно, в общем случае, a(bc); а также нет обратного: возможно ab=0 при ненулевых множителях),
- сложение на натуральных числах (нет обратных)
- и умножение на целых (тоже нет обратных)
- сдвиг по траекториям уравнения диффузии, например. Вперед можно, назад нет, то есть нет обратного. Это "полугруппа". И объясняет диффузионную стрелу времени.
- Множество ходов на шахматной доске. Может не быть хода, который бы восстановил позицию: пешки назад не ходят, съеденную фигуру назад не поставить...
Завтра обсудим Лоренца и его преобразования.