Мы уже обсуждали, что операции над комплексными переменными многозначны. Синус и косинус, экспонента и многочлен — исключения, и кое-что еще, но в целом лучше считать все функции многозначными, просто у некоторых множество значений содержит одно число. Корень квадратный, например (он же степень 0.5) имеет всегда два значения. У логарифма значений бесконечно много. А сегодня давайте выясним, сколько значений у степени с показателем i.
Оглавление рубрики "мой учебник"
Что больше одного, сразу получается из такого "парадокса". Единица в степени i это 1, ведь 1 в любой степени есть она сама. Теперь возьмем функцию "z в степени i" и проследим за ее значениями на окружности |z|=1. Ее можно записать как z=exp(ti), где t от 0 до 2π. Возводим в степень i и получаем exp(-t). При t=0 это единичка, все правильно, но при t=2π мы опять приходим в z=1, но значение там уже иное.
Мы знаем, что экспонента имеет период 2πi, ведь по формуле Эйлера
Стало быть,
Чтобы вычислить все значения степени, нужно представить возводимое число в экспоненциальной форме, с помощью упомянутой формулы Эйлера:
Здесь |z| — модуль числа и Arg(z) — его аргумент. Напомню, что комплексное число a+bi изображается точкой с координатами (a,b) на плоскости, модуль есть расстояние до нуля, а аргумент есть угол между положительным направлением оси x и направлением на число, то есть отрезком от нуля до (a,b). Естественно, аргумент считается с точностью до целого числа оборотов. Обозначение Arg(z) и означает все множество аргументов данного числа, в отличие от arg(z), который в пределах одного оборота.
Возьмем число 1 и возведем его в степень i.
У числа 1 модуль равен 1, а аргумент, с учетом многозначности, равен 2πk для любого целого k (в частности, нулевого).
Итак, имеем
Возводя в степень i, приходим к множеству значений
Среди них есть и единичка, при k=0, но она там не одна.
Я немного слукавил. Для единички всё правильно, но этот подход годится только для единички. Давайте обобщим.
Научимся вычислять логарифм любого числа. Это просто, если записать число в экспоненциальной форме:
То есть логарифм столь же многозначен, как и аргумент. Степень i любого числа a+bi запишем, с учетом свойств логарифма:
Вторая экспонента имеет много значений, все вещественные. Первая по формуле Эйлера дает
Так что значений всегда много, целые степени — редкое исключение.
Может возникнуть два резонных вопроса: а почему формула Эйлера задает только одно значение для мнимой степени числа е? И почему у степени любого числа (в том числе и е) может быть много значений, если функция-экспонента однозначная функция?
На эти важные вопросы я совсем скоро отвечу в отдельном материале.
Всё просто, если делать всё по правилам, осторожно и — стильно.
Удачи!
И подписывайтесь на канал, и ставьте лайки... Вам ж все равно, а мне приятно.