Нильсу Бору приписывают изречение, что есть утверждения очевидные, которые доказываются легко, и глубокие, отрицание которых не менее плодотворно. То же касается и вопросов.
Простые вопросы могут привести к очень нетривиальным выводам. Некоторые примеры, свои любимые, я уже приводил; повторюсь немного.
Скажем, тригонометрические формулы (я имею в виду выражения, выражающие одни характеристики треугольника через другие) не зависят от выбранных единиц измерения длин. Это банально до скуки, потому что формула не может знать о том, в чем там вы решили мерять длину, правда? Это наблюдение уже кое-что дает, например формула a=√b явно неверна, если хотя бы одна из букв означает длину (кроме случая, когда a — длина, а b — площадь). Но можно получить больше. Например, площадь S прямоугольного треугольника выражается через длину гипотенузы c и один из острых углов α, но связь эта может быть только такой: S=f(α)c², где про функцию f нам мало что известно, кроме того, что f(α)=f(90º-α) и она не равна нулю при ненулевом α. Опустив из вершины прямого угла высоту, мы разделим треугольник на два прямоугольных же треугольника, для которых верна та же формула, и вот мы получили теорему Пифагора "из ничего".
В замечательной книжке Я.Е. Гегузина "Капля" приводится пример на ту же тему. Выводится довольно сложная формула, описывающая давление пара вблизи капли жидкости. В формулу входит радиус капли, поверхностное натяжение, объем атома и температура. Масса атома не входит.
Поэтому можно применять эту формулу, с оговорками, к "каплям пустоты" — порам в кристалле. Температура относится к кристаллу, поверхностное натяжение тоже, давление описывает просто концентрацию атомов вблизи капли, то есть в данном случае — вакансий (дырок в кристаллической решетке). Но для капли, согласно формуле, давление повышено по сравнению с плоской поверхностью жидкости, и потому она испаряется быстрее. Стало быть, и пора в кристалле имеет тенденцию испаряться, так как вакансий близ нее будет больше, чем у плоских граней кристалла. И это работает. Автор книги приводит пример: пора радиусом в один микрон в кристалле меди при температуре в 1000 градусов испаряется за полчаса.
Еще на ту же тему: теорема Нётер. Вот что полезного можно извлечь из того, что в уравнения движения не входит время в явном виде? А отсюда следует закон сохранения (обычно, энергии). Это бывает полезно в приложениях (в механике так просто необходимо), а в общем случае позволяет упростить систему.
Если у вас есть уравнение y'=f(x,y), x'=g(x,y), производные по времени, но времени в правых частях нет, то что это дает? Можно поделить одно уравнение на другое и по общим правилам получить
dy/dx=f(x,y)/g(x,y).
Это одно уравнение вместо двух, уже позитив. Причем это уравнение решается, по меньшей мере локально, и решение можно записать как F(x,y)=C, где C — произвольная постоянная. Вот вам и закон сохранения.
Аналогично симметрия по координатам дает еще законы сохранения (в механике это импульс), а по поворотам — момент импульса. А ведь эти семь симметрий — по времени, началу отсчета и направлениям осей — очевидны. Вот вам и три закона сохранения: энергии, вектора импульса и векторного же момента.
Из ничего почти!
Если присмотреться, то наука полна такими простыми следствиями из банальных фактов. Время жизни атома радиоактивного элемента случайно и распределение вероятностей не зависит от того, сколько он уже прожил. Какое это распределение? Казалось бы, "какое угодно" — мало ли распределений, которые не зависят от истории? Мало. Одно абсолютно непрерывное и одно дискретное. Не знаю насчет сингулярных, кстати. Нам нужно непрерывное, оно такое одно: экспоненциальное.
Вот подсмотренный в книжках В.Босса вывод распределения Максвелла. Есть много-много молекул, их скорости случайны. Массив скоростей, многомерный вектор V, обладает такими свойствами:
- его компоненты независимы как случайные величины;
- вероятность, что вектор примет такое значение, не зависит от направления вектора, а только от его длины.
Первое свойство отражает независимость скоростей молекул друг от друга. Второе ещё очевиднее: это неразличимость молекул. Мы можем как угодно переставить компоненты вектора, вероятность это этого измениться не должна.
Что можно сказать о распределении вероятности вектора?
Кажется, что ничего нельзя. На самом деле, мы его знаем точно.
Независимость компонент означает, что вероятность вектора равна произведению вероятностей его компонент:
p(V) = p(V₁)p(V₂)...
Можно прологарифмировать и получить логарифмы вероятностей:
ln p(V) = ln p(V₁) + ln p(V₂) + ...
Градиент (вектор из частных производных) этого логарифма — это вектор с компонентами p'(V₁)/p(V₁), p'(V₂)/p(V₂), и так далее. Штрих означает производную.
Независимость от направления означает, что вероятность постоянна на сферах с центром в нуле: там все радиус-векторы по определению имеют одну и ту же длину. Значит, сферы такие являются поверхностями уровня. А градиент обязан быть перпендикулярен к поверхности уровня g(V)=const. И градиент самой функции g тоже к этой поверхности перпендикулярен, по той же причине.
Для сферы g(V) есть сумма квадратов компонент. Градиент есть вектор с компонентами 2V₁, 2V₂ и так далее.
Градиенты оба перпендикулярны к одной и той же поверхности, а значит, параллельны: отличаются числовым множителем. Получаем набор однотипных уравнений p'(x)/p(x)=-2ax. Вместо x стоят V₁, V₂ и т.п.
Эти уравнения решаются, давая p(x)=Cexp(-ax²). Перемножая эти вероятности для x=V₁ x=V₂ и т.д., получаем вероятность вектора:
p(V) = Kexp(-a|V|²)
Константы определяются нормировкой (интеграл равен единице) и средней скоростью. Получается многомерное нормальное распределение скоростей вдоль данной оси. Отсюда один шаг до Максвелловского распределения молекул по скоростям (это распределение длины вектора с трехмерным нормальным распределением и независимыми компонентами).
Которое мы получили из ничего почти.
Еще я приводил пример неизбежности "обратных квадратов": если поле симметрично, потенциально, бездивергентно, а пространство плоское, изотропное и однородное, то это "обратные квадраты". А если имеются отклонения от этого закона, то что-то нарушено. Например, пространство искривлено. Это единственная разумная "уступка", так как нарушения симметрии куда хуже, а дивергенция граничит с нарушением сохранения энергии, как и непотенциальность.
В общем, очень часто из очевидных фактов следует единственный вывод: может быть только так, и никак иначе. Важно увидеть этот вывод, а потом принять. Например, расширение Вселенной: никак без него, причем это совершенно ясно. Кому надо — приняли, пусть и не сразу. И кривизна пространства-времени: ну не вяжется плоское пространство ни с чем, никак. И так далее.
Эта одна из вещей, делающих историю науки интересной.
Удачи, коллеги.
