Продолжаем тему задач на оценивание. В прошлый раз мы получили любопытные характеристики Солнца, а сегодня посмотрим на Землю.
Это, конечно, всё развлечение, Яндекс всё это вам найдет быстрее. Но умение делать такие оценки в уме или на салфетке - полезное умение...
Начнем с радиуса Земли. Он около 6400км, но допустим, что мы этого не знаем (забыли или и не знали). Можно вспомнить, что в европейских широтах самолет пролетает один часовой пояс в час (примерно). Это я много раз замечал. Скорость самолета около 800-900 км/ч, то есть часовой пояс получается около 850км. Часовых поясов всего 24, то есть на каждый приходится по 15 градусов долготы. Имеем около 55-60км на градус. Широты в Европе где-то вокруг 60 градусов, то есть градусы меньше экваториальных на множитель cos 60˚=½. То есть градус на экваторе получается 110-120км. Точное значение 111км. Приемлемо. Градусов же всего 360, что дает 40 тыс км длины экватора. Делим на 2п, примерно на 6, и получаем примерно 6400км. Или 6.4∙10⁶м.
Теперь вспомним закон тяготения: F=GMm/R². Здесь R - расстояние до центра Земли, так как шар притягивает как материальная точка той же массы в центре (теорема Ньютона). Величина GM/R² имеет размерность ускорения и называется ускорением свободного падения g. С таким ускорением падают все тела вблизи поверхности Земли. И равно g примерно 10м/с².
Гравитационная постоянная равна 6.67∙10⁻¹¹м³·кг⁻¹·с⁻², так что масса Земли получается примерно равна 6.4∙10²⁴кг. Точное значение немного меньше 6.
Фактически из ничего получили размер и массу Земли!
Можно проверить нашу оценку массы Земли, если нам известно расстояние D до Луны. Это 384000км, округлим до 4∙10⁸м (больше световой секунды, кстати). Луна делает один оборот за месяц, то есть за 28 суток (округлим до 30). В сутках 86400с, а пройденный путь примерно в 6 раз больше D. То есть, скорость Луны относительно Земли составляет 24∙10⁸м за 30 суток по 24 часа по 3600 секунд. Или около 1км/с.
Это первая космическая скорость на соответствующем расстоянии, ее квадрат равен GM/D. Таким образом, GM/D примерно равно миллиону м²/с², тогда GM примерно равно 4∙10¹⁴м³/с². Гравитационная постоянная G равна 6.67∙10⁻¹¹м³·кг⁻¹·с⁻², то есть 4∙10¹⁴ надо поделить на 6.67 и умножить на 10¹¹. Получится примерно 6∙10²⁴кг. Более точная оценка.
Средняя плотность Земли составляет отношение массы к объему; объем приблизительно равен 4R³, а масса gR²/G, то есть плотность есть g/4GR. Делим и получаем примерно 6000кг/м³, или 6г/см³.
Это любопытно. Плотность больше, чем у гранита (2.6г/см³), но меньше, чем у железа, меди и, тем более, золота (около 8, 9 и 19). Примерно такую плотность имеет галлий. Но это средняя плотность, так что она мало что говорит о составе Земли, на самом деле. Но говорит, что плотность в глубине намного выше, чем плотность коры (которая состоит из базальтов с плотностью вдвое меньше средней).
Прикинем площадь S Антарктиды, считая, что она лежит в пределах южного полярного круга, 66.6˚. Чтобы взять интеграл в сферических координатах, надо умножить интегранд (у нас 1) на якобиан перехода r²cosθ. При этом по r мы не интегрируем, эта переменная не меняется (r=R), а от долготы ничего не зависит. Интеграл по долготе (полный оборот) дает 2п, R² вынесем. Останется интеграл по широте от 66.6˚ до полюса от cosθ. Это синус, на полюсе он равен 1 и получаем: 2пR²(1-sin66.6˚). Относительно сферы, которая имеет площадь 4пR², данная область составляет долю (1-sin66.6˚)/2.
Синус равен примерно 0.9, то есть площадь Антарктиды около 5%. На самом деле, около 3% (14 млн кв.км против 510).
Толщина ледникового щита разная, примем 1км в среднем (хотя на самом деле 2.5км, но откуда нам это знать). Если весь лед растает, то объем льда в 1Sкм³ надо распределить по площади планеты, что даст толщину в 5% от 1 километра, или 50 метров.
Да, надо брать только площадь океанов, то есть реально будет еще больше. Но площадь Антарктиды мы завысили, так что то на то и будет. Вообще, такие оценки как правило сохраняют точность из-за компенсации округлений.
Как такое количество воды повлияет на соленость? Если предполагать перемешивание до однородной солености, то несильно. Средняя глубина океана - более километра. Надо объем в 1Sкм³ разделить на площадь океана (мы делим на площадь всей планеты) и на среднюю глубину. Получим 3-5%. То есть объем воды возрастет на 3-5%, а количество соли не изменится. Это приведет к снижению солености на те же 3-5%, то есть незначительно. Вместо 40 промилле станет 38.
Однако перемешивания до однородности не будет! Пресная вода будет плавать поверху. И вот это очень серьезно, даже неполное таяние способно нарушить циркуляцию, доставку кислорода в глубинные слои, убить галофильные организмы.
Ладно, берем новую салфетку.
Угловая скорость w вращения Земли составляет полный оборот за 24 часа, или примерно 7∙10⁻⁵ радиан в секунду. Умножая на радиус, получаем скорость: 465м/с. И кинетическую энергию тела массой в сто кг: почти ровно 10МДж. Вот такую энергию имеем мы просто потому, что e pur si mouva!
Правда, это на экваторе, потому что в других местах надо умножать на расстояние до оси вращения, а оно равно Rcosθ, где θ - широта. В наших краях косинус близок к 0.5, так что скорость вдвое меньше и энергия меньше вчетверо. Но всё равно много.
А центростремительное ускорение, роль которого выполняет тяжесть, равно w²R, то есть 3см/с², или 0.3% от g. То есть, если Земля прекратит вдруг притягивать, то удержаться будет несложно. Но атмосферу удерживать некому и она улетит, вода тоже, и удерживаться не будет никаких причин. Однако я, релятивист, гарантирую вам, что это невозможно!
В Занимательной Физике Перельмана сделан такой подсчет. Мы уже оценили орбитальную скорость Земли вокруг Солнца: u=3∙10⁴м/с. Расстояние A=1.5∙10¹¹м. Значит, центростремительное ускорение, равное u²/A, равно 6∙10⁻³м/с². Весьма небольшое ускорение. Однако чтобы создать такое ускорение планеты, нужна сила, пропорциональная массе. То есть, 3.6∙10²²Н.
Допустим, что у нас есть источник энергии, способный создавать такую силу, но какой должен быть трос? Прочность стали на разрыв составляет порядка 30-50 кг на кв.мм. В ньютонах это около 360Н на кв.мм, или 3.6∙10⁸Н/м². Делим и получаем 10¹⁴м², или 10⁸км², то есть сто миллионов квадратных километров имеет сечение троса. Площадь же Земли немного больше 500 миллионов. Трос крепить можно максимум к половине, то есть почти половина доступной площади будет забита крепежом тросов. Площадь суши вообще всего 150 миллионов, то есть может не хватить.
Ускорение Кориолиса равно (у полюса) 2wv, где v - скорость тела или течения воздуха или воды. В других широтах надо умножить на синус широты, то есть в наших краях меньше процентов на 15. То есть ускорение Кориолиса численно меньше скорости на множитель 14∙10⁻⁵ (в наших краях 10⁻⁴). Мало это или много?
Ну, для автомобиля массой в одну тонну, едущего 90км/ч, что составляет 25м/с, сила Кориолиса составляет в наших местах 2.5Н. Сравнимую и даже побольше силу создает ветер.
Для снайперской стрельбы это уже важно. Скорость пули порядка 1000м/с, время полета порядка секунды. Тут важно, что ускорение действует под прямым углом к скорости, меняя ее по направлению. За полсекунды ускорение создаст боковую скорость 0.07м/с, еще за полсекунды пуля сместится вбок сантиметра на 3-4. Это может быть уже важно.
Более точный подсчет таков: скорость пули меняется согласно уравнению dv=adt, где v и a - векторы, причем v=(U,V), a=(fV,-fU), f=10⁻⁴. Уравнение сводится к U''=-f²U, с решением u(t)=Acos(ft)+Bsin(ft), V=U'/f=Bcos(ft)-Asin(ft). Начальное значение скорости U=v, V=0, то есть A=v, B=0, и решение имеет вид U=vcos(ft), V=-vsin(ft). Нас интересует вторая компонента скорости, боковая, V. Нам надо взять интеграл от нее за одну секунду полета пули: это будет пройденный в боковом направлении путь. Знак минус означает поворот вправо, то есть по часовой стрелке (положительный угол отсчитывается против, но это условность). Первообразная синуса равна vcos(ft)/f и надо взять разность на отрезке [0,1]: v(1-cos(f))/f. Знак поменяли, так как нас интересует величина сноса.
Поскольку f маленькое, то можно приблизить косинус так: 1-cosf~f²/2. Получаем снос vf/2, или 0.05м=5см. Это точно может быть важно для снайпера.
А вот для течений в океане или ветров в атмосфере Кориолис критически важен! Ускорение небольшое, но места много и течь можно много часов. Но за 6 часов ускорение изменит скорость на противоположную! А за 12 часов переносимая с потоком частица просто вернется в исходную точку. Вот и причина вихрей и циклонов.
На этом прервемся, но не очень надолго...