Ленту Мёбиуса мы уже начали обсуждать. Берем полоску бумаги, перекручиваем на 180 градусов и склеиваем (отождествляем) два края. Получается поверхность с одной стороной и одним краем. Почему край один — ясно: одна сторона исходного прямоугольника переходит в другую, так что край по сути один. Две другие стороны склеены и более сторонами/краями не являются.
Аналогично и стороны. У прямоугольника их две, но при склейке одна переходит в другую, так что по сути теперь одна сторона.
Но вот что интересно: локально-то сторон две! Как и у любой поверхности. Любой кусок Ленты, не обязательно маленький — лишь бы не слишком большой — имеет две стороны. Жучок, сидящий на ленте с одной стороны, не может попасть к подруге с другой стороны, хотя она в той же точке ленты.
Точнее, у него есть три пути. Первый: он может прогрызть ленту и пробраться на ту сторону, заодно сменив ориентацию: перевернувшись ножками в другую сторону. Второй: он может перелезть через край. Хотя край может быть далеко, да и перелезть через него может быть сложно. Ну и третий путь: совершив путь по ленте, он может попасть к подруге, не перелезая через край, не прогрызая ленту и не переворачиваясь.
И вот этот третий путь и означает односторонность ленты Мёбиуса. Для сферы, у которой края нет, второй путь исключен; а третий тоже закрыт, так как сфера двусторонняя. Сферу только пробивать остается: на этом и основан принцип всех крепостей, сейфов и баллонов высокого давления.
Локально сторон две, а глобально — одна.
Интересно, что если склеить край ленты Мёбиуса с окружностью (фундаментом), то получится дом, у которого нет различия между внутренней и внешней стороной стены. В такой дом можно войти, пройдя по стене. В каждой точке есть разница: с одной стороны обои, с другой сайдинг; но при этом можно проползти по сайдингу и оказаться внутри.
Пояснение. "Окружность" имеется в виду — граница сферы с вырезанной в ней "дыркой". Сферой в данном примере будет Земля, дыркой — площадь под застройку, окружностью — упомянутый уже фундамент.
Проблема в том, что в трехмерном пространстве такой фокус невозможен. В целом же заклеить окружность в сфере (предварительно вырезав из сферы "круг", границей которого данная окружность и будет) лентой Мёбиуса можно, и это будет "сфера с пленкой", и такие многообразия (с разным числом пленок) исчерпывают все (компактные) двумерные односторонние. В каком-то смысле лента Мёбиуса единственная воистину односторонняя: все остальные ее содержат как часть.
Давайте теперь сложим вместе две полоски, перекрутим и склеим. Получится двойная лента Мёбиуса с интересным свойством. Если в ней сидит жучок (спинка упирается в одну полоску, лапки стоят на другой), то он четко различает верх и низ, пол и потолок. Поставив на полу крестик, он движется вперед. Пройдя замкнутый путь, он возвращается к крестику... но крестик теперь на потолке! Жучок нигде не переворачивался, да и не может этого сделать; он всё время шел по полу, причем не менее четырех лапок из шести стояли на полу в каждый момент! Однако факт: крестик на потолке.
Получается интересная вещь: в каждой точке есть направление вверх-вниз, и можно сказать, где пол, а где потолок, причем на линии, их соединяющей, есть вполне определенная высота над полом. А глобально такого нет, потому что на другой линии, длинной, но тоже соединяющей эти точки, они идут в обратном порядке!
Нечто такое возникает в решении Гёделя, вселенной без времени: красивом точном решении уравнений Эйнштейна для всей вселенной. О нем в следующий раз.
А пока обсудим, что получится, если ленту Мёбиуса разрезать. Нарисуем на полоске бумаги линию, параллельную длинной стороне, и проходящую посередине. Склеим ленту Мёбиуса и разрежем ее по линии. Что получится?
Для начала, ясно, что разрез станет новым краем. Исходная полоска распадется на две, но левая склеена с правой, и наоборот. Каждый половинка перекручена на 180, и они еще крест-накрест склеены, так что получится перекрученная на 720 градусов лента (как везде пишут, "дважды перекрученная")! Мы говорили, что топологически это цилиндр, хотя в трехмерном пространстве одно в другое не переводится без разрывов и склеек. Вот про "дважды перекрученную" везде говорят, а про нюанс, что это два полных оборота (хотя начинали с половины оборота) — никто не говорит почему-то.
Аналогично получается, если катить круг по кругу. Если один круг закреплен, а другой по нему катится без проскальзывания, то сколько оборотов он сделает? Два. Один оборот за счет проезжания пути, равному своей длине, что и называется "один оборот". Второй оборот просто потому, что круг обошел вокруг центра другого круга, неважно как. Тема разобрана у Перельмана: если охотник обошел вокруг дерева, а белочка двигалась по дереву так, чтобы все время быть у него на глазах, то обошел он вокруг белки или нет? Да. Так же как Земля обходит вокруг Солнца, и совершенно неважно, как вращается само Солнце. Даже если бы оно все время было к Земле одной "стороной", это неважно.
Возвращаемся к Ленте Мёбиуса. А если линия проведена не посередине, а где-то ближе к краю полоски? Тогда полоска окажется разрезана на три. Две крайние склеены друг с другом и образуют перекрученную на 720 градусов ленту (вдвое длиннее исходной и более узкую), а срединная склеена сама с собой и образует ленту Мёбиуса, той же длины, что исходная, но поуже. Причем эти две ленты сцеплены между собой.
Так ленты Мёбиуса могут размножаться))
Проверьте эти простые выкладки экспериментально. И прикиньте, насколько всё неочевидно в многомерных пространствах, если даже в привычном трехмерном есть, мягко говоря, сюрпризы!
