Найти тему
Блокнот математика

Ряд Фибоначчи и иррациональные кролики

Я думаю, каждый слыхал о числах Фибоначчи: ряд чисел, в котором каждое, кроме первых двух, равно сумме двух предыдущих. Сам Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, современник Ричарда Львиное Сердце и князя Игоря, жил на сотню лет до Данте и считается первым крупным средневековым математиком Европы, а в Италии даже и одним из крупнейших вообще. О его результатах можно прочитать в Википедии, а мы давайте поговорим о его ряде.

Статуя Леонардо Пизано.
Статуя Леонардо Пизано.

Ряд Фибоначчи получается как решение задачи о кроликах. В модели Фибоначчи пара кроликов производит пару кроликов в месяц, начиная со второго месяца жизни. Начинаем с одной пары кроликов. Через месяц у нас все еще одна. Затем имеем эту пару и нарожденную ею пару: всего две. Потом старая пара пришлет еще одну, а новая повзрослеет: 1+2=3. И так далее: на каждом шаге имеем все пары предыдущего шага и приплод от шага на два раньше.

Математически это записывается в виде рекуррентного уравнения:

N(n) = N(n-1)+N(n-2)

с начальными условиями N(0)=1, N(1)=1.

Могут быть, кстати, и другие начальные условия и это тоже называется ряд Фибоначчи.

Как найти формулу для вычисления члена этой последовательности прямо по номеру, без вычисления предыдущих? Технику мы уже обсуждали, но не вредно и повторить: уравнение выше является линейным уравнением на множестве бесконечных последовательностей. То есть сумма двух решений есть решение, и если решение умножить на число, это будет тоже решение. И даже более того: это двумерное пространство, потому что если мы знаем первые два члена ряда, то все остальные восстанавливаются однозначно. Так что через два решения можно выразить любое другое: ведь всё определяют два первых члена ряда, двумерный вектор. То есть, надо подобрать всего два (ненулевых) решения, для каких угодно начальных данных.

Поищем решение в виде степени: N(n)=λⁿ. Подставим это в уравнение и получим для лямбды (λ) квадратное уравнение

λ² - λ - 1 = 0.

У него есть два различных вещественных корня, но они не целые и даже не рациональные. Не будем пока нервничать и запишем общее решение:

-2

В случае начальных данных Фибоначчи получается

-3

Что дает в итоге формулу

-4

Получается очень поучительная вещь: задачу мы решили, формулу для n-го члена последовательности получили. Вся последовательность целочисленная, но в формуле красуются иррациональные числа. В каждом конкретном случае они сокращаются, но в формуле стоят.

Их не было в задаче про кроликов! Но они есть в ответе.
И ведь в левой части стоит размерная величина: число пар кроликов. А справа, что измеряется в кроликах? Кто скажет? Корень из пяти там чего/кого?

Важно ещё вот что. Любая последовательность Фибоначчи получается комбинацией двух каких-нибудь. Удобно брать в качестве базисных классическую, которая начинается с 1, 1, и её же, только в начале 0, 1. Потом, очевидно, будет опять 1 и далее классическая последовательность. То есть вы добавили месяц перед покупкой пары кроликов: в этот месяц у вас кроликов не было.

Тогда, если первую умножить на В, вторую на А, и сложить, то получится последовательность Фибоначчи, у которой первый член В, второй А+В, ну и далее по схеме. То есть получается по сути последовательность Фибоначчи, начинающаяся с чисел А и В. Только "нулевой член" А отбросили. Имея формулы для классической последовательности и (0,1)-последовательности, можно легко сложить любую другую, и даже вычислять ничего не надо: коэффициентами и будут первые два числа.

Есть такой фокус: попросите написать любые два числа, потом выписать восемь членов последовательности Фибоначчи с этой парой в качестве начальной, и просуммировать все десять чисел. Это довольно трудоемко. Потом Вам покажут выписанные числа и вы их мгновенно просуммируете в уме. Либо вам скажут первые два, а вы быстро назовете сумму.

Дело в том, что сумма десяти чисел Фибоначчи в 11 раз больше седьмого числа.

Проверим это. Выпишем первые 10 чисел:

A, B, A+B, A+2B, 2A+3B, 3A+5B, 5A+8B, 8A+13B, 13A+21B, 21A+34B.

Теперь сложим их: получим 55A+88B = 11(5A+8B).

Интересно проследить за отношением двух последовательных чисел Фибоначчи, при любом начальном условии. Полученная формула (общее решение) показывает, что при больших n второе слагаемое играет все меньшую роль, а первое — все большую. Дело в том, что √5 лежит между 2 и 3, так что 1-√5 лежит между -2 и -1, а половина от этой величины по модулю меньше единицы. В большой степени это мало. При этом 1+√5 лежит между 3 и 4, а половина больше единицы, так что в большой степени это много. Так что асимптотически роль играет только первое слагаемое.

Асимптотически — это при больших n. Но насколько больших — зависит от контекста. В данном случае долго ждать не придется: отношение четвертого к третьему уже близко к пределу (относительная погрешность 3%). Это для классической последовательности, конечно.

Предел отношения двух последовательных чисел не зависит от коэффициента и равен (1+√5)/2. Это число примерно равно 1.618, называется "золотое сечение", часто встречается в самых разных построениях, распространено в природе, применяется в архитектуре и почему-то выглядит привлекательно для человека.

Более или менее оно. Чуть более высокий театр или чуть менее высокий выглядел бы несоразмерно.
Более или менее оно. Чуть более высокий театр или чуть менее высокий выглядел бы несоразмерно.

Формально это отношение частей отрезка, разделенного так, что отношение большей части к меньшей равно отношению всего отрезка к большей части.

-6

Это приводит к уравнению

-7

которое сводится к

φ² = 1 + φ, где φ = y/x.

Точно такое же уравнение мы получим, обозначив через φ предел N(n)/N(n-1) и перейдя к пределу в уравнении

N(n) = N(n-1)+N(n-2),

поделив обе части предварительно на N(n-1).

У этого квадратного уравнения два корня. Один равен золотому сечению (1+√5)/2, второй ему обратен и имеет обратный знак: (1-√5)/2.

В данной пропорции делят друг друга диагонали правильного пятиугольника, которые образуют пятиконечную звезду.

-8

Возможно, поэтому пятиугольник, звезда, пентаграмма и т.п. были всегда так популярны.

Но это тема для другой беседы.

Научно-популярные каналы на Дзене: путеводитель
Новости популярной науки12 марта 2022