Бывают задачи, в которых дано что-то и есть формула: подставил в нее и получил результат. Ту или иную характеристику некоторого объекта. Только вот иногда объект такой невозможен... Он призрак.
Широко известен пример Арнольда, задача, которую он видел в американских тестах. Дана гипотенуза прямоугольного треугольника (10см) и длина высоты, опущенная на нее: 6см. Найти площадь треугольника.
Формула проста, надо умножить сторону на высоту и поделить на два... только вот не бывает такого треугольника. О причинах чуть ниже.
А вот еще пример, приведенный одним моим читателем. Цитирую:
Из учебника "Геометрия" издательства "Наука", 1973 г., П.П. Андреев, Э.З. Шувалова. Стр. 169, зад. №15.
Вкратце: "В системе прямоугольных координат XYZ дана точка А. Её расстояния от осей X, Y и Z соответственно а, b и c (перпендикуляры к осям) и равны 11,3; 33,9; 17 см. Найти (вывести формулу) расстояние ОА точки А от центра координат. Также вычислить его длину."
Задача несложная, я пришёл к формуле ОА=√[(a²+b²+c²)/2], тогда ОА≈28см.
Точно такой же ответ был и в конце учебника.
В процессе решения задачи я решил для наглядности соорудить 3D-модель системы координат, воткнув бамбуковые палочки в кусок пенопласта. Далее, заготовив отрезки 11,3; 33,9 и 17 см, попытался найти эту точку А в пространстве XYZ чисто визуально, состыковав отрезки, соблюдая перпендикулярность к осям, но у меня ничего не получилось! Либо 11,3 слишком короткий, либо 33,9 слишком длинный...
Сразу скажу, что я не стал искать учебник и проверять формулировку. Если читатель не соврал, то может быть опечатка в числах, а может и недосмотр автора. Раз в конце дан ответ, то это не хитрый подвох. Давайте эти две задачи внимательно изучим.
Итак, с треугольником. Формула для площади хорошо известна. А почему треугольник такой не существует?
Ну потому что высота не может быть какой угодно! Она, по определению синуса, равна h=asin(α), ведь треугольник со сторонами a и h тоже прямоугольный и a его гипотенуза. Но по определению косинуса a=ccos(α). Поэтому h=ccos(α)sin(α). Теперь вспомним формулу двойного угла: sin(2α)=2sin(α)cos(α). Тогда h=csin(2α)/2.
Синус не может быть больше единицы, если угол вещественный (а у треугольника он, конечно, вещественный). Поэтому высота не может превышать половины гипотенузы, и достигает этого максимального значения при угле в 45 градусов, то есть на равнобедренном треугольнике. На самом симметричном из прямоугольных!
А формула для площади работает! Можно вообще задать условия: гипотенуза 3, высота 7, формуле-то все равно. Можно и отрицательные числа подставить, и комплексные, и даже какие-нибудь матрицы, например.
Кстати, высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, всегда короче катета. А в любом треугольнике вообще выполнено неравенство треугольника: любая сторона должна быть короче суммы двух других. Треугольник со сторонами 9, 42, 666 не существует. А формулы, в которых только длины сторон (Герона, например) работают.
Дело в том, что применить формулу — это как кнопку на электромясорубке нажать. Она включится и перемелет то, что в нее сунуто. Мясо так мясо, рыбу так рыбу, палец так палец, телефон так телефон. Есть ограничения, но кто о них думает? Они бы сами нашлись, если бы мы пошли дальше и, кроме площади, стали бы искать другие элементы треугольника.
Еще одна аналогия — алгоритмы, компьютерные программы. Есть много шуток и вполне житейских историй, когда "оно не понимает" и, например, требует погасить долг в -1 копейку. По сути алгоритмы — это те же формулы. Если ограничения не соблюдаются, они молотят себе, что получится. Не их забота.
Скажем, из нашей формулы мы бы могли найти синус удвоенного угла, и он получился бы больше единицы. И всё. А в реальном треугольнике мы бы определили угол и через него стороны и всё, треугольник полностью решен.
Кстати, если забыть формулу двойного угла, то заметить, что 2sin(α)cos(α) меньше единицы при любом угле, не так и просто.
Вторая задача. Нам даны расстояния до осей. А координаты точки x, y, z нам не даны. Расстояние до оси z, например, выражается теоремой Пифагора: x²+y²=c², аналогично и для других: x²+z²=b², y²+z²=a².
Складывая эти три равенства, мы приходим к
2x²+2y²+2z²=a²+b²+c²,
откуда получаем квадрат искомого расстояния: x²+y²+z²=(a²+b²+c²)/2.
Формула есть и в нее можно подставить что угодно. Но давайте не будем останавливаться на достигнутом и попробуем определить сами координаты точки.
Это не так сложно сделать. Вычтем из одного равенства другое:
z²-y²=b²-c²
И прибавим к третьему:
2z²=a²+b²-c²
Из-за симметрии мы можем сразу получить еще два равенства. Но уже это одно показывает, что a, b и c не любые! Справа должно быть положительное число!
Поэтому задача разрешима только тогда, когда данные длины удовлетворяют системе неравенств: квадрат каждой должен быть меньше суммы квадратов двух других. Некий аналог неравенства треугольника.
Исследователь в душè докопается до этого. "Нажиматель кнопок" — не обязательно.
Любая формула имеет границы применимости, об этом всегда надо помнить. Поэтому так важны теоремы существования: без них численный метод решения может давать какое-то решение, только это не решение. Но это тема для отдельной беседы...