Казалось бы, что общего у траектории точки на ободе колеса и формой детской зимней горки, по которой чадо скатится без трения за кратчайшее время? Это одна и та же кривая.
Точка на ободе колеса описывает некоторую кривую, именуемую циклоидой. Давайте найдем ее уравнение.
В системе отсчета центра колеса точка на его ободе вращается (по часовой стрелке пусть), и ее координаты зависят от времени так:
x=Rcosωt, y=-Rsinωt.
Сам центр с точки зрения дороги едет вперед: X=X₀+vt, Y=R. В итоге получаем
x = X₀ + vt + Rcos(ωt), y = R - Rsin(ωt).
Скорость центра v равна одному обороту за период. Период равен 2π/ω, длина окружности 2πR, так что v=Rω. Обратите внимание, что в нижней точке скорость точки на ободе x'(t) равна нулю: x'=Rω-Rωsin(ωt), ωt=π/2.
Нам сойдет любой параметр, так что можно заменить ωt и прийти к каноническим уравнениям
x = Rs - Rsin(s), y = R - Rcos(s)
Можно катить колесо по потолку и тогда у у поменяется знак. Циклоида такая нарисована на втором графике.
Теперь поставим задачу о брахистохроне: найти форму горки, по которой материальная точка скатится под действием силы тяжести без трения. Слово "брахистохрона" означает "(кривая) кратчайшего времени" и происходит от (древне)греческих слов βράχιστος и χρόνος.
Начальная и конечная точки заданы. Понятно, что сначала кривая должна быстро убывать, чтобы точка набрала скорость, но не слишком - иначе потом будет пологой и не будет ускоряться.
Формулу для длины кусочка кривой между x и x+dx мы знаем:
Время прохождения кусочка равно dl/v, а скорость v можно считать пропорциональной корню из y: ведь при уменьшении y точка теряет потенциальную энергию (пропорциональную y) и приобретает кинетическую, пропорциональную y².
Получается функционал
И надо найти его минимум.
Под интегралом стоит функция F(x,y,y'), которая от x на самом деле не зависит. Это позволяет записать "первый интеграл", или "закон сохранения":
Такое уравнение решить проще, чем уравнение Эйлера в общем виде. В нашем случае это
Упростим:
Проверим, что циклоида этому уравнению удовлетворяет. (Надо же использовать преимущество взора с конца забега!) Итак, у нас параметрические уравнения
x = Rs - Rsin(s), y = R - Rcos(s)
при заданном R и переменной s. Производная y по x тогда равна
y'(x) = sin(s)/(1-cos(s)).
В скобках получится 2/(1-cos(s)), а в целом справа будет R. Ну, а слева произвольная постоянная C, которая вот случайно оказалась равна R. Всё сошлось, ура.
Итак, циклоида как траектория движения точки на ободе колеса, циклоида, заданная уравнениями и брахистохрона - это одна и та же кривая.
Вернемся к колесу и рассмотрим вопрос о качении без проскальзывания невесомого колеса с точечным грузиком на ободе. Грузик падает и вращает колесо, переводя свою потенциальную энергию в кинетическую. Поскольку масса колеса близка к нулю, энергия тоже его, грузика. Но в нижней точке, как мы видим из графика (и уравнения) циклоиды скорость эта обращается в нуль. А с ней и энергия!
Спасая закон сохранения энергии, колесо подпрыгивает, проскальзывает, ускоряется до огромных скоростей и так далее - стерильная задача решения не имеет вообще. Вот такие драмы встречаются, а казалось бы: просто колесо, просто катится, что может быть проще...