В прошлый раз мы с вами доказали несколько классических теорем геометрии через совершенно негеометрические концепции. Давайте для комплекта докажем теоремы косинусов, обобщающую теорему Пифагора на случай произвольного треугольника. Она выглядит так:
a² + b² - 2ab cos(φ) = c².
Здесь a и b — две стороны треугольника, φ — угол между ними, а c — третья сторона.
При прямом угле косинус равен нулю и получается Пифагор.
При нулевом угле косинус равен единице и получается c=a-b.
Ну а если угол 180 градусов, то c=a+b. Все правильно.
Как будем доказывать? Давайте сначала лобовой атакой, а потом обходным маневром.
Опустим высоту h (она разделит сторону с на два куска x и y) и запишем теорему Пифагора для полученных треугольничков:
a² - h² = x², b² - h² = y²
Сложим и прибавим 2ab к обеим частям:
a² + b² - 2h² + 2xy = (x + y)² = c².
Вычтем 2abcos(ш) из обеих частей:
a² + b² - 2h² + 2xy - 2abcos(φ) = c² - 2ab cos(φ).
Чтобы теорема была верна, нам нужно равенство
-h² + xy = -ab cos(φ).
Уберем h, выразив его через углы α и β, на которые делит угол φ высота h:
h = a cos(α) = b cos(β).
Получим:
-ab cos(α)cos(β) + xy = -ab cos(φ)
Аналогично устраним x и y:
x = a sin(α), y = b sin(β)
Получим
-abcos(α)cos(β) + absin(α)sin(β) = -abcos(φ)
Теперь видно, что длины a и b ни на что не влияют, равенство сводится к
cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) = cos(α+β)
Но это же безусловно верно: это формула для косинуса суммы.
Теорема доказана.
Если вы забыли формулы для синуса и косинуса суммы, то они легко выводятся из формулы Эйлера:
с учетом формул
Ну, и ещё надо помнить, что если a+bi = c+di, то a=c и b=d.
Теперь обходным путём, через векторы. Совсем просто. Пусть у нас стороны треугольника векторы, а вектор есть ни что иное, как перенос. Так что b+c=a (при правильно подобранных направлениях), или c=b-a. Это векторное равенство. Возводим его в квадрат и получаем
c² = b² + a² - 2abcos(φ).
Потому что скалярный квадрат вектора и есть квадрат его длины, ну а выражение с косинусом есть скалярное произведение.
Видите, как всё просто? А в школе-то небось так просто не было? Я вот помню, что не мог сходу доказать эту теорему. А теперь вот в уме могу...