Арксинус — это функция, обратная к синусу. Синус определен всюду на комплексной плоскости и принимает все комплексные значения, и не по одному разу. Поэтому арксинус может быть рассмотрен для комплексных значений, и будет многозначным. По возникает проблема: аналитическая функция многозначна, только если имеет особые точки. И лежат эти особые точки на границе круга сходимости степенного ряда, в который функция раскладывается.
А у арксинуса нет таких точек.
В самом деле, синус принимает все значения, а значит арксинус любого числа имеет смысл и может быть вычислен. Более того: арксинус может быть выражен формулой
С одной стороны, справа многозначная функция Ln (логарифм). С другой, у правой части нет особых точек. Ведь у логарифма это только нуль, а выражение в скобках в нуль не обращается. Возведите равенство
iz=±√(1-z²) в квадрат и получите 0=1, что выполняться не может ни при каком z.
Радиус сходимости степенного ряда с центром в нуле равен единице, так что особая точка должна иметь модуль 1, то есть лежать на единичной окружности с центром в нуле. Но их там нет, что опять же можно непосредственно проверить. Например, арксинус числа 1 вычисляется без проблем, и для -1 тоже.
Можно было бы сказать так: арксинус выражен через логарифм, а тот многозначен — вот и этот многозначен. да еще и плюс-минус. Ничего страшного.
Но нет. Проблема вот в чем: мы взяли отрезок [-1,1], на котором задан обычный школьный арксинус, и всё у него хорошо: непрерывный, есть производная, раскладывается в ряд... Такую функцию можно продолжить аналитически на всю плоскость, кроме особых точек. Причем устранимые особые точки и не считаются, на то и устранимые. Остаются полюса, с бесконечным пределом, и существенно особые точки, где предел вообще любой. А у арксинуса таких нет.
А раз нет, то он должен быть однозначной функцией. А он многозначен.
Решение загадки довольно простое. Особых точек у арксинуса и в самом деле нет, но есть две точки, в которых он теряет аналитичность. Или голоморфность: у него нет производной. Это точки ±1. Там даже обычной производной нет, а комплексной и подавно. Вот они и особые.
Давайте я расскажу, откуда берется эта формула для производной. Это просто, если рассматривать производную как дробь f'(x)=df/dx. Это можно, см. любой учебник матанализа. Тогда x'(f)=dx/df=1/f'(x).
Производная синуса есть косинус, поэтому производная арксинуса (y=arcsin(x)) есть 1/cos(y). Осталось избавиться от y и перейти к x.
Аналогично, кстати, обстоит дело с квадратным корнем. У него тоже нет особых точек, а вот точка неаналитичности (нуль) имеется. Проблема у производной, которая в нуле не существует.
А ведь можно загнать проблему глубоко, рассмотрев степень с показателем 77.5. У нее всё хорошо, и производная есть, и семьдесят с лишним производных найдется, а вот аналитичности нет. Для нее не выполнены условия Коши-Римана, но это не так легко проверить. А вот затроллить математика очень даже можно. Даже специалист может не дать ответа сразу.
Теперь уже не столь очевидно, что комплексный синус и арксинус сохраняет все свои свойства: он остается обратным к синусу, сумма арксинуса и арккосинуса равна константе π/2, сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, производная задана именно такой формулой. Но это так. Проверить легко на основе теоремы единственности.
Сумма квадратов аналитических функций сама аналитическая. На вещественной прямой в случае синуса и косинуса это константа-единица, функция аналитическая. Значит, и повсюду тоже она.
Композиция аналитических функций сама аналитическая (только с особыми точками осторожно надо). Арксинус от синуса... ну, вы поняли идею.
До встречи!
Путеводитель по каналу и Оглавление рубрики "Учебник"