Давайте-ка рассмотрим любопытную задачку из многомерной геометрии.
Многомерное пространство это просто множество n-мерных векторов-столбиков. Их можно складывать, умножать на числа, умножать скалярно друг на друга и даже называть точками.
В многомерном пространстве можно определить шары и кубы. Достаточно очевидно: шар — это множество точек, расстояние от которых до данной не больше заданного числа (радиуса). Единичный куб — это множество точек, у которых каждая координата между нулем и единицей (длиной ребра). Далее понятно. Объем единичного куба равен единице, по определению.
У куба есть грани: это множества точек, у которых одна конкретная координата равна нулю или единице. Это тоже кубы в пространстве на единицу меньшей размерности.
И есть диагональ: это отрезок из точки с нулевыми координатами в точку с координатами-единичками. Опять-таки, можно уточнять; но мы не будем.
Куб может быть не единичным, а определяться длиной ребра. А шар определяется радиусом.
Вычислим длину диагонали. Она является гипотенузой в треугольнике, в котором катетами являются ребро и диагональ грани. По индукции имеем
где n — размерность, а — ребро, а D — диагональ. Это уже любопытно, так как в единичный стомерный куб поместится отрезок длиной десять (!) единиц.
Теперь рассмотрим на плоскости такую конструкцию:
Возьмем куб (квадрат) со стороной 4, разделим его на четыре квадрата со стороной 2. В каждый впишем шар (круг) радиусом 1. В промежуток между ними поместим круг так, чтобы касался всех кругов. Каков его радиус?
Надо вычесть из диагонали куба (квадрата) диаметр (2) и поделить на два. Получим
Для трехмерного куба построение аналогично: куб с ребром 4 разделив на 8 кубов... Получим
Аналогичное построение возможно в любом пространстве, и имеем, по индукции, формулу
Построение совершенно строгое, все этапы определены корректно. Но получается забавно. Начиная с пятимерного пространства, радиус маленького шарика больше, чем радиус большого. Ведь у большого вседа 1, а у маленького уже больше 1, если n>4.
А начиная с десятимерного, диаметр шарика больше ребра большого куба (4), так что шарик в куб не поместится и будет торчать по бокам.
Где я видел это прелесть — уже не упомню. Не мое. Если кто подскажет источник или, лучше, оригинал — буду благодарен.
