Давайте выведем ракетное уравнение Циолковского. Это полезное упражнение позволит кое-что понять, а заодно прояснит метод бесконечно-малых.
UPDATE: В комментариях верно указали, что уравнение получено И.В. Мещерским, учителем Циолковского, в 1897 г.
Задача такова: есть ракета, масса которой состоит из полезной массы S и топлива (что бы под ним не подразумевалось) M. Топливо выбрасывается в виде реактивной струи со скоростью -w. Минус потому, что скорость ракеты положительна, а струи, соответственно, отрицательная.
Какую скорость наберет ракета, израсходовав все топливо?
Для простоты ракета в вакууме и вне каких-либо полей.
Реактивное движение использует закон сохранения импульса: изначально ракета вместе с топливом покоилась и имела нулевой импульс; топливо уносит импульс в одну сторону, ракета приобретает его в другую.
Однако неправильно полагать, что топливо унесет импульс Mw и такой же импульс получит космический корабль массой S. Так было бы, если бы топливо мгновенно было выброшено, а это не так.
Если вы бросаете камень с лодки, тогда так и считается, но если камней много — то уже нет.
При этом масса ракеты может быть разной, от S до S+M, и разобраться в этом поначалу очень сложно.
Выход есть: исчисление бесконечно малых. Рассмотрим какую-то промежуточную массу m, ракета уже набрала скорость v; она выбрасывает маленькую массу топлива dm. При этом масса ракета почти не изменилась, сейчас мы это уточним.
Топливо унесло импульс wdm, ракета приобрела такой же по величине импульс за счет увеличения скорости на dv=-wdm/m.
Если мы попробуем учесть изменение массы ракеты, то получим слагаемые с dm² и более высокого порядка. А они малы даже по сравнению с мелким dm.
Полная скорость есть сумма приращений dv, которых много. Получаем сумму выражений вида -wdm/m. Вспомним, что суммы такого вида называются интегральными, и предел по мере измельчения dm (и увеличения числа слагаемых, полная масса топлива-то в любом случае равна M) называется интегралом.
Как-нибудь в другой раз расскажу про это понятие.
Интеграл от dm/m можно точно "взять": это логарифм ln(m). С точностью до произвольной "плюс константы".
Получается, что скорость v(m), которую набрала ракета, потратившая уже S+M-m топлива (масса пустой ракеты S, изначальная масса топлива M, масса ракеты с топливом здесь и сейчас m), выражается формулой
v(m)=-w∙ln(m)+C,
где С — любая константа. Ее определим из условия, что в начале, когда m=S+M, скорость была равна нулю:
0=-w∙ln(S+M)+C,
откуда
v(m)=w∙ln((S+M)/m).
Получили больше, чем планировали: у нас есть формула для скорости на любом этапе разгона! Подставим m=S (ракета без топлива, это конец разгона):
v(M)=w∙ln(1+M/S).
А теперь обсудим полученную формулу. Это и есть ракетное уравнение, которое огорчило Циолковского.
Логарифм растет очень медленно! Чтобы набрать скорость w, нужно M=(e-1)∙S≈1.7∙S. Почти две трети массы ракеты будет топливо. А чтобы удвоить скорость, надо уже (e²-1)∙S≈6.38∙S: полезная масса уже мала по сравнению с топливом.
А если нужна скорость в семь раз выше, чем у струи? Масса топлива должна быть более чем в тысячу раз больше полезной массы.
Потому и используют ступени, чтобы уменьшить массу. Поэтому так важна высокая постоянная скорость реактивной струи. Вот почему в космос летать так сложно, и нужно особое топливо.
Кстати, Израиль, численность населения которого незначительно превосходит таковую в Санкт-Петербурге и значительно уступает Москве, спутники в космос уже давно запускает. Причем по ряду причин запускают они ракеты не на восток, а на запад, что стоит лишнего километра в секунду скорости. Но так надо. Причем ракеты свои (если интересно, гуглите "Шавит" или שביט, на иврите "комета".
Обсудим еще фотонную ракету при нерелятивистских скоростях. Пусть у вас есть способ превращать массу в излучение (аннигиляция) без потерь или просто мощные батарейки (энергия в них будет добавлять им массы, ничего не поделаешь).
Масса dm эквивалентна энергии dE/c², которая делится между фотонами. Импульс dP фотона связан с его энергией формулой dP=dE/c, и формула не меняется, если фотонов много. Таким образом, импульс dP равен c∙dm, как и в уже рассмотренном уравнении. Оно имеет тот же вид, только скорость "струи" теперь равна скорости света:
v=c∙ln(1+M/S),
где M — это запас вашего топлива (антиматерия и материя, например). Увы, но логарифмическая зависимость осталась, хотя перспективы уже получше.
Наши рассуждения справедливы, если скорость нерелятивистская, намного меньше скорости света. Тогда логарифм мал по сравнению с единицей, а значит, M должно быть невелико по сравнению с S. Тогда логарифм можно приблизить членом первого порядка: ln(1+x)≈x и:
v≈c∙M/S.
То есть, взяв в ракету массой две тонны один килограмм антивещества (и один килограмм вещества для аннигиляции), мы можем, теоретически, разогнаться до одной тысячной скорости света: до 300км/с, что не так уж и плохо.
