Феномен L1

Приветствую всех!

Сегодня я расскажу об одном удивительном свойстве пространства L1. Я объясню необходимый материал, но уровень подготовки все-таки нужен довольно высокий.

Итак, L-пространства. В функциональном анализе часто используют пространства L1, L2, иногда другие. Это пространства функций, заданных на данном отрезке, но не любых, а измеримых и таких, что интеграл от данной степени (1, 2 и так далее) должен быть конечен. Наиболее популярны L1, когда сходиться должен интеграл от модуля функции, и L2, когда сходится интеграл от квадрата.

Простыми словами, функции из L1 не слишком быстро растут, так что площадь под графиком конечная, а в L2 функции растут еще менее быстро.

В L1 этот интеграл (от разности двух функций) определяет метрику, то есть "расстояние" между точками пространства - этими функциями. Метрика позволяет определять сходимость, аппоксимацию, шары и окрестности.

Носитель функции - это множество, на котором она отлична от нуля. Обычно нужна мера (упрощенно, длина) этого носителя.

L-пространства - линейные: функции можно складывать и умножать на числа, и при этом получится функция из того же пространства. Линейным подпространством называется линейное пространство,состоящее из элементов пространства (но, конечно, там могут быть не все элементы пространства, хотя нуль обязательно входит).

Рассмотрим задачу о наилучшем приближении: дано линейное подпространство и какая-то функция. Надо найти функцию из подпространства, которая ближе всех к данной в смысле метрики L1.

Результат Аллана Пинкуса с коллегами из университета Технион (Израиль) [1] удивителен: он утверждает, что для любого подпространства L1 существует константа d (причем для многих пространств она больше нуля), и если носитель функции меньше d, то наилучшая аппроксимация этой функции в данном подпространстве - это нуль.

В статье даны примеры и оценки константы, например, для конечномерных подпространств, натянутых на тригонометрические многочлены. Оценка d такая: π/(2n+1) < d < π/(n+1), где n - размерность подпространства, а L1 на [- π, π]. То есть, если Вам нужно найти наилучшую аппроксимацию некоторой функции тригонометрическими полиномами и известно, что носитель меньше данной оценки - то аппроксимация нулевая.

[1] Benyamini Y., Kroo A., Pinkus A. L1-Approximation and Finding Solutions with Small Support. Constructive approximation. 2012. V.36. Pp 399-431.