Сегодня я расскажу вам об экспоненте. Почему она так вездесуща, чем интересна, почему так быстро растет, насколько быстро, и почему это важно.
Итак, есть операция "возведение в степень", то есть перемножение ряда одинаковых чисел. Если это число а зафиксировать, а число множителей менять, то получится некоторая функция. Это и есть экспонента. Ее можно распространить, научившись вычислять для любого вещественного и даже комплексного аргумента. Про комплексную экспоненту мы уже говорили, сейчас сосредоточимся на вещественной или даже целочисленной функции.
За основание а обычно принимают число е, приблизительно равное 2.7 и получаемое как предел
Если вам лень пройти по ссылке, то знайте, что это выражение описывает доход от вклада мешка денег под 100% годовых, если вклад снимать с процентами и класть снова n раз в год через равные интервалы. Может показаться, что такое действие ничего не даёт, но это не так: даёт, и вместо банальных двух мешков (вклад плюс проценты) можно отжать сколь угодно близко к e мешков, что существенно больше двух.
Целочисленную экспоненту, кстати, иногда называют геометрической прогрессией.
Давайте вспомним, как быстро она растет. Мы уже обсуждали проделку Сильвера, который платил Черному Псу дублон ежедневно, а тот начал с сентимо и каждый день удваивал платеж. Псу казалось, что за месяц он окажется в плюсе: 1, 2, 4, 8, 16 сентимо дают 31, а получит он за эти пять дней 5 дублонов, 500 сентимо! Но на десятый день выплата превысит пять дублонов, причем за все эти дни выплачено будет больше десяти, то есть Сильвер уже в плюсе. А на одиннадцатый день Пес отдаст еще десять дублонов с лишним сразу (за один), а потом больше двадцати, и через три недели перейдет на миллионы.
Есть пример посвежее и пострашнее. Заразная болезнь передается в среднем a людям от одного носителя в сутки. Это a является основанием степени и является характеристикой как возбудителя (заразность), так и общества (среднее число контактов). Если все началось с "нулевого пациента" и а=2, то через сутки уже двое, через десять дней тысяча (новых! Если всех считать, то уже больше двух тысяч!), через двадцать свыше миллиона (большинство городов), через месяц около миллиарда (планетарный масштаб), 33-34 дня это вся планета.
Да, здесь есть некоторые допущения. Но все меры (маски, вакцины, изоляция, дистанция, карантины, локдауны) призваны (помимо снижения риска для вас лично) снизить это чертово а. Каждый знак после запятой имеет значение — это экспонента!
Например, 2 в степени 10 — это 1024, а 1.9 в той же степени — это 613. А 1.8 в той же степени еще почти вдвое меньше. Зато 2.1 в десятой уже 1668. А для 15 степени всё ещё более зрелищно: 2 в 15-ой есть 32768, 1.9 даёт 15181, 1.8 даёт 6746, а 2.1 — 68122.
Именно таков ответ на вопрос "но ведь всё равно можно заразиться". Можно, если даже вам без разницы личный риск. Но снижение вероятности на копейку — это вдвое меньше за две недели.
Почему говорят, что ничто не растет быстрее экспоненты? Потому что она часто встречается. Функции "факториал" и "n в степени n" растут быстрее, конечно, но не принципиально, и их рост тоже считают экспоненциальным. А это вся комбинаторика. Полный перебор. Так, число всех текстов длины N символов, которые можно составить из M символов, есть M в степени N. Так что придумать содержательную задачу с существенно более быстрым ростом числа вариантов не так и просто.
Кстати, вместо того, чтобы увеличивать M (хотя бы одна заглавная буква, цифра, знак препинания и китайский иероглиф), логично увеличивать N. Используйте что хотите, но пароль из 20 символов неподбираемый.
Но дело не только в комбинаторике и пресловутом "экспоненциальном взрыве", когда маленькие числа в условии дают колоссальные числа в ответе. Линейные дифференциальные уравнения тоже имеют, часто, решения именно в форме экспонент. Модель Мальтуса, например: скорость прироста популяции пропорциональна численности. Все правильно: в среднем на одну особь приходится данное число потомков в год, ну и лишь бы еды хватило. Получается решение в виде экспоненты, а она быстро растет. Вывод: ресурсов никогда много не бывает. Во всяком случае, долго. Популяция просто быстро подтянется к тому уровню, на котором нехватка ощутима.
Как получается решение? См. заметку про лодку, там техника раскрыта, а уравнение Мальтуса имеет вид dX=aXdt.
Еще один забавный эффект быстрого роста — Санкт-Петербургский парадокс. Открывает глаза на перенормировку (в физике), кстати. Там бросается монетка, пока не выпадет орел. Если орел выпал впервые на шаге номер n, то выплачивается 2 в степени n рублей. Какова разумная плата за одну игру?
Ну, орел может выпасть впервые на любом шаге n, вероятность этого 0.5 в степени n, а выигрыш равен 2 в степени n, то есть вклад в среднее всегда единичка. Получается бесконечное среднее: никаких денег не жалко... как так?
Но на самом деле капитал заведения ведь ограничен, пусть и большой суммой. Если взять чудовищно огромное число 2 в степени 100 (это больше, чем 10 в степени 30, это тридцать нулей, а в триллионе их всего-то двенадцать), то первые сто исходов дадут по единичке, а все остальные, все вместе, дадут всего-то один рубль. Получается 101 рубль. Вообще, если у заведения 2 в степени Р рублей, то ставить больше Р+1 точно не стоит.
Таким образом, "отсечка" где-то далеко за гранью разумного вдруг превращает нелепый бесконечный ответ во вполне приемлемый и практичный. Перенормировка именно так и работает.
Теперь поговорим об убывающей экспоненте. Например, а в степени n при a<1. Или a в степени -n при a>1. Она, конечно, быстро убывает. Но есть нюанс.
Дело в том, что растущая экспонента быстро растет как в смысле "быстро достигает больших значений", так и в смысле "быстро обгоняет рост постоянными частями" (как у Сильвера с Черным Псом). Убывающая же экспонента быстро убывает в смысле "быстро достигает маленьких значений". Например, если лист бумаги весит два грамма, то сколько раз его надо порезать пополам, чтобы получился один атом? Ну, в двух граммах что-то около 10 в степени 23 атомов, что меньше, чем 10 в степени 24, а это меньше, чем 2 в степени 80. Так 80 раз точно хватит. Всего 80!
Однако убывание постоянными долями убывает быстрее. Линейная функция достигает нуля, а экспонента нет. Впрочем, экспонента быстро уходит в такие малые числа, где приходится вспоминать про атомы, кванты и планковские масштабы. Или просто говорить, что там уже нуль, и finita la commedia.
То есть, терять 10% от капитала вы можете сколь угодно долго. Теоретически, хотя на практике 50 таких проигрышей оставят вам примерно полпроцента исходного капитала, а далее будет только хуже. Но терять 10% от исходного капитала можно только десять раз. После будет чистый нуль, а далее уже долг (если такое допускается правилами). Экспонента так не умеет.
Классика убывающей экспоненты — радиоактивный распад. Для него тоже есть линейное уравнение, dX=-aXdt, тоже в среднем. Дело в том, что радиоактивный атом не имеет возраста: вероятность его распада за год, скажем, постоянна, сколько бы атом не просуществовал. Такое распределение только одно непрерывное (экспоненциальное с плотностью aexp(-ax)) и одно дискретное (геометрическое, при котором целому k>0 отвечает вероятность p в степени k). Так что экспонента зашита в самую структуру реальности! Радиоактивный распад же следует из принципа неопределенности Гейзенберга.
Кстати, вот и еще одна причина распространенности экспоненты в физике. Закон Аррениуса растет отсюда, время жизни всех частиц, включая наши любимые мюоны, излучение фотона возбужденным атомом — это все распределено экспоненциально.
Ну и вероятностные задачи. Геометрическое распределение получается как число попыток до первого успеха. Таких задач, с вариациями — почти все. И везде Она — экспонента.
Кстати, нормальное распределение (тоже экспонента есть и там), экспоненциальное, геометрическое и еще несколько - они все энтропийные: на них достигает максимума так называемая энтропия при тех или иных ограничениях. То есть принцип максимума энтропии — это еще одна причина распространенности экспоненты...
