Фокус на основе теории вращения векторного поля

Есть такая теорема Жордана, и всякий, кто о ней пишет, всегда добавляет, что она очевидная, но доказательство очень сложно. Теорема утверждает, что гомеоморфный образ окружности делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Гомеоморфизм - это непрерывное обратимое преобразование, причем обратное тоже непрерывное. Можно себе представить окружность из веревки, тогда гомеоморфизм есть выкладывание какой-то фигуры из этой веревки, любой, но без самопересечений и, естественно, нельзя веревку резать и сшивать.

Какую бы фигуру вы не выложили, у нее есть внутренняя область и внешняя. Не всегда легко отличить одну от другой.

Можете быстро выяснить, какие из красных точек внутри. а какие снаружи?

Но тут помогает такой мощный малоизвестный математический инструмент, как вращение векторного поля.

Простыми словами, это мы выпускаем луч из данной точки и считаем, сколько раз он проткнет границу области изнутри наружу и сколько раз снаружи внутрь. И берем разность этих двух чисел.

Доказывается без особого труда, что от направления луча вращение не зависит. Для гомеоморфного образа окружности оно равно единице, если точка внутри, и нулю, если снаружи.

Иными словами можно сказать так: число пересечений четное, если точка снаружи, и нечетное, если внутри. И это позволяет мгновенно определить, внутри точка или снаружи, как бы сложна ни была кривая.

На этом свойстве основан фокус, описанный у Гарднера. Попросите зрителя выложить из связанной в кольцо веревки (длиной от 6 метров) кривую, сколь угодно сложную (но без самопересечений). Затем периферию узора закрывают газетами, оставив небольшой прямоугольный участок в середине. Зритель ставит палец в любое место и фокусник угадывает, будет захвачен палец веревкой или нет, если за нее потянуть.

В другом варианте фокусник быстро и как будто наугад втыкает в пол булавки, и веревка не захватит ни одной. Или ровно одну, предсказанную.

И так далее.

Секрет в том, что при одном взгляде на кривую можно выбрать точку, которая внутри области, и запомнить ее. Когда часть кривой закроют газетами, у нас точка, которая точно внутренняя. Любая другая теперь легко классифицируется: если соединяющая точки кривая (или прямая) пересекает веревку четное число раз, то точка тоже внутренняя, а если нечетное, то внешняя. Куда бы не поставил палец зритель, всё будет ясно.

Допустим, что мы запомнили синюю точку (кружок) и знаем, что она внутри области. Теперь любые другие точки легко классифицируются по числу переходов границы на пути от синей до красной. Если число переходов (рыжие квадратики) четное, точка такая же, как синяя, то есть внутри. Если нечетное, то точка снаружи.

Булавки расставляются по тому же принципу: одну в выбранную точку, другую в любую точку, отделенную от данной двумя пересечениями, и так далее.

Изящно.

Книгу Гарднера "Математические чужеса и тайны" рекомендую.