Есть такая теорема Жордана, и всякий, кто о ней пишет, всегда добавляет, что она очевидная, но доказательство очень сложно. Теорема утверждает, что гомеоморфный образ окружности делит плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Гомеоморфизм - это непрерывное обратимое преобразование, причем обратное тоже непрерывное. Можно себе представить окружность из веревки, тогда гомеоморфизм есть выкладывание какой-то фигуры из этой веревки, любой, но без самопересечений и, естественно, нельзя веревку резать и сшивать.
Какую бы фигуру вы не выложили, у нее есть внутренняя область и внешняя. Не всегда легко отличить одну от другой.
Но тут помогает такой мощный малоизвестный математический инструмент, как вращение векторного поля.
Простыми словами, это мы выпускаем луч из данной точки и считаем, сколько раз он проткнет границу области изнутри наружу и сколько раз снаружи внутрь. И берем разность этих двух чисел.
Доказывается без особого труда, что от направления луча вращение не зависит. Для гомеоморфного образа окружности оно равно единице, если точка внутри, и нулю, если снаружи.
Иными словами можно сказать так: число пересечений четное, если точка снаружи, и нечетное, если внутри. И это позволяет мгновенно определить, внутри точка или снаружи, как бы сложна ни была кривая.
На этом свойстве основан фокус, описанный у Гарднера. Попросите зрителя выложить из связанной в кольцо веревки (длиной от 6 метров) кривую, сколь угодно сложную (но без самопересечений). Затем периферию узора закрывают газетами, оставив небольшой прямоугольный участок в середине. Зритель ставит палец в любое место и фокусник угадывает, будет захвачен палец веревкой или нет, если за нее потянуть.
В другом варианте фокусник быстро и как будто наугад втыкает в пол булавки, и веревка не захватит ни одной. Или ровно одну, предсказанную.
И так далее.
Секрет в том, что при одном взгляде на кривую можно выбрать точку, которая внутри области, и запомнить ее. Когда часть кривой закроют газетами, у нас точка, которая точно внутренняя. Любая другая теперь легко классифицируется: если соединяющая точки кривая (или прямая) пересекает веревку четное число раз, то точка тоже внутренняя, а если нечетное, то внешняя. Куда бы не поставил палец зритель, всё будет ясно.
Булавки расставляются по тому же принципу: одну в выбранную точку, другую в любую точку, отделенную от данной двумя пересечениями, и так далее.
Изящно.
Книгу Гарднера "Математические чужеса и тайны" рекомендую.
