Давайте "по просьбам телезрителей" разберем классический парадокс, связанный с энергией. Вот летит муха, у нее малюсенькая масса и некоторая скорость. Она ударяется об автобус, упруго, отскакивает и летит обратно с той же почти скоростью. Энергия сохраняется, импульс тоже (если считать, что автобус покатился чуть-чуть), всё хорошо. Но вот в системе отсчета мухи не все так гладко, так как движется автобус с массой куда более значительной, и энергия его неизмеримо выше. Как удар с такой энергией не раздавил муху насовсем?
Последний вопрос совсем простой: при упругом ударе кинетическая энергия сохраняется, так что возможно только ее перераспределение между телами. На деформацию затрат по определению нет, иначе это уже не упругий удар.
Давайте начнем с простой задачи о движении двух материальных точек по прямой. У одной точки есть масса m и скорость v, и у другой (M и V). Они упруго сталкиваются; надо определить скорости после удара. Упруго — значит, сохраняется энергия. Импульс сохраняется в любом случае.
Заметим, что массы абсолютны, а вот скорости надо выбрать в какой-то инерциальной системе отсчета. Пока любой.
Обозначим скорости после удара через v и V. Запишем законы сохранения:
mu + MU = mv + MV (сохранение импульса)
mu²/2 + MU²/2 = mv²/2 + MV²/2 (сохранение энергии)
Из этих двух уравнений можно найти две неизвестные. Но мы сначала докажем теорему: добавление одной и той же (любой) величины w ко всем скоростям не меняет законов сохранения. Докажем это.
Добавим в первый закон:
m(u+w) + M(U+w) = m(v+w) + M(V+w)
Ясно, что это сводится к закону в исходной форме, который по предположению выполнен. Второй закон:
m(u+w)²/2 + M(U+w)²/2 = m(v+w)²/2 + M(V+w)²/2
После раскрытия скобок, сокращения одинаковых слагаемых слева и справа и использования закона сохранения энергии, останется
muw + MUw = mvw + MVw
Применив закон сохранения импульса, мы убедимся, что это тоже верно.
Итак, теорема доказана. Из нее следует, что законы сохранения верны в любой инерциальной системе отсчета. Вообще любой, так как скорости можно считать векторными: это ничему не противоречит, все рассуждения верны.
Надо только понимать, что в инерциальной системе нет ускорений. Это точка зрения другой мухи, которая летит за первой, немного позади, и относительно нее первая муха покоится вплоть до удара. После автобус как ехал, так и едет (почти), первая муха летит теперь навстречу с почти двойной скоростью, энергия сохранена, импульс тоже.
Как обеспечить неподвижность мухи и до, и после удара — вопрос более тонкий, но и его мы решим. В следующей заметке.
Давайте пока решим уравнения. Для этого применим теорему, выбрав наиболее простую систему отсчета. А именно, возьмем w=-u, а ось координат пустим вдоль вектора U-w, и обозначим его снова U. Аналогчно переобозначим скорости v и V. А еще поделим все соотношения на M и обозначим m/M снова буквой m. Меньше букв — проще не запутаться. Теперь можно забыть о векторах, решая одномерную задачу:
U = mv + V, U² = mv² + V²
Она решается:
U² = m²v² + V² + 2mvV = mv² + V²,
откуда (m²-m)v² = -2mvV. Одно решение имеем сразу: v=0, V=U. Это отсутствие взаимодействия: летят как летели. Ищем дальше: V = -(m-1)v/2.
Тогда v = 2U/(m+1) и V = -U(m-1)/(m+1).
Здесь можно вспомнить, что M=1.
Полезно разобрать частные случаи:
m=M: тогда V=0, v=U. Иными словами, первый шарик, в системе отсчета которого мы работаем, приобрел скорость, которую имел второй, а второй остановился.
m=0: тогда v=2U, V=U; автобус продолжил ехать как и ехал (он покоится, но в системе отсчета мухи он движется), муха получила ту же скорость, что и автобус (с точки зрения другой мухи, она летит навстречу с двойной скоростью). Это ситуация тенниса или биллиарда. Мяч отбит или шар отразился от борта. Масса, конечно, не нуль, но относительно большой массы отбивающего это оправданное приближение.
m>>1 (намного больше единицы): тогда v=0, V=-U. Тяжелый шар, который считал себя покоящимся, продолжил покоиться, а легкий отскочил в противоположную сторону с той же по величине скоростью. На самом деле, ровно та же ситуация, что и в предыдущем примере.
Последний нюанс. При упругом ударе можно обеспечить любую энергию тела при заданном импульсе или любой импульс при заданной энергии. В самом деле, выбрав импульс p=mv, можно получить любую энергию E=pv/2, выбрав маленькую скорость, и наоборот: выбрав энергию E=mv²/2, можно подобрать любой импульс p=2E/v. Это несвязанные величины, хотя, как мы знаем, это компоненты одного вектора энергии-импульса (в общем-то, потому они и независимы).
Итак, подведем итог. Энергия и импульс при упругом ударе сохраняются в любой инерциальной системе отсчета. Большая энергия тяжелого тела останется большой. Включить удар в инерциальную систему нельзя никак. Колоссальная энергия автобуса не давит муху, потому что она упругая. В системе отсчета мухи автобус продолжил двигаться, "поделившись" очень небольшой долей своей большой энергии. Интуитивное представление, что тело с большой энергией должно и отдать много энергии — ни на чем не основано. Точнее, основано на практике неупругих взаимодействий: если ваш велосипед ударил Камаз, последствия будут неприятны; впрочем, Камаз все равно останется при своей энергии: много не отдаст. Но того, что отдаст, вам хватит: ибо удар ни в коем случае упругим не будет.
Неинерциальные системы рассмотрим в следующий раз.