Всех причастных поздравляю с праздником защитника Отечества. В это связи давайте разберем пару задач про войны и сражения.
Начнем с теории игр и Роберта Ауманна. Именно он сформулировал на строгом математическом языке простую и давно известную истину:
Si vis pacem, para bellum
В самом деле, представьте двух противников, каждый может напасть или не напасть на другого, и каждый может вооружаться или не вооружаться. Напасть на готового противника довольно больно, а на неготового может быть выгодно. Равновесие по Нэшу — готовиться, вооружаться.
Банально.
Равновесие по Нэшу — это ситуация, от которой невыгодно отклоняться ни одному из игроков. Если не будешь вооружаться, за тобой придут.
Игроков может быть и много. И не обязательно вторжение — это именно армады, колонны и когорты...
Бывают ситуации, когда всем вместе выгодно перейти в другое состояние. Да, но не в этом случае. Единственное, что можно — это удерживать действительно опасное оружие под контролем.
Так что пацифисты, которые против ядерного оружия, просто не знают математики.
Ауманн сформулировал эти мысли в жесткой форме: войну предотвращает угроза уничтожения, а попытки обеспечить вечный мир войну приближают.
Поэтому я поднимаю чашку чая с бергамотом за всех, кто держит оружие.
Ладно, давайте теперь вернемся мысленно в эпоху мечей, топоров и дубин. Арнольд рассматривает забавную модель сражения с неожиданным выводом.
Итак, пусть X и Y обозначают численности войска, допустим, Гондора и Мордора. При этом каждый воин первой армии за единицу времени убивает a солдат второй, а каждый солдат второй — b солдат первой. В среднем, конечно, но для больших армий это работает.
За малое время dt получаем:
dX = -bYdt
dY = -aXdt.
Эту систему дифференциальных уравнений несложно и решить, но мы этого делать не будем. Нам достаточно найти закон сохранения. Точнее, здесь это уместнее называть "первым интегралом".
В самом деле, время в явном виде в уравнения не входит, поэтому должен быть закон сохранения.
Найти его несложно, поделив одно уравнение на другое:
dY/dX = (a/b)(X/Y).
Переменные разделяются:
bYdY = aXdX
Теперь можно взять интеграл и получить
bY² - aX² = C = const.
В механике это бы назвали сохранением энергии. А здесь это просто некоторая сохраняющаяся величина. Назовем по аналогии величины bY² и aX² "энергиями" войск (они и по виду похожи на кинетическую энергию).
Нам важно поведение этой кривой на плоскости X-Y в зависимости от C. А значение этой константы определяют начальные численности X₀ и Y₀: она же во времени постоянна, значит, какая была в начале, такая и есть.
Итак, если C не нуль, то это гипербола. Причем она может пересекать ось X (если C<0), а может пересекать ось Y (если C>0). В одном случае побеждает армия X, просто перебив за конченое время всех Y. Во втором наоборот.
В пограничном случае C=0 получаем пару прямых, но нас интересует только луч при положительных значениях, а это Y=kX, где k²=a/b. В этом случае "борьба была равна", обе армии изничтожают друг друга, но до нуля дойти они не могут. Теоретически битва будет вечной, а на практике при малых численностях перестает работать предположение о среднем. Последние двое проведут поединок, в котором победит кто-то один. Пиррова победа.
Смотрим на условие победы, то есть, например, C>0. Это означает
bY₀² > aX₀².
Получается, что начальная численность (Y₀) важнее, чем мастерство (Y₀, оно же отражает и защиту).
Вот два племени, дерутся дубьем. Силы равны, C=0. Одно из племен научилось ковать мечи, увеличив a в три раза. Второе племя может тоже освоить технологию, но может просто выставить вдвое больше воинов: это увеличит их "энергию" в четыре раза.
Это довольно странный вывод, потому что ясно же, что доспехи и оружие важнее. Но не всегда. Когда важнее, там очень уж большое b получается. Но всё равно толпой задавить можно. А примешивается ещё психология: не все могут бежать на верную смерть и все такое.
Вот, например, замок дает огромный прирост к b, такой, что никакая численность не спасает.
Отчасти понять схему можно так: если воинов мало, но они очень эффективны и почти неуязвимы, то они могут выпилить много врагов — но зато и эффективность их падает очень сильно с потерей каждого товарища. Вот простой пример просто для иллюстрации. Пусть у нас десять мушкетеров и вдвое больше гвардейцев кардинала. Один мушкетер может сразить троих гвардейцев, а один гвардеец — одного мушкетера. За пять минут схватки, скажем. Через одну минуту схватки гвардейцы уложат четырех мушкетеров, а мушкетеры — шестерых гвардейцев. Теперь не 10 против 20, а 6 против 14. Мастерство не изменилось, а численное превосходство усилилось.
Сочетая две задачи вместе, приходим к выводу: если "энергии" равны, лучше не воевать: получится взаимное истребление без шансов на победу. Если же "энергия" противника больше, надо работать над паритетом и дружить, по возможности.
Впрочем, ядерное оружие решает проблему. И хорошо, что у нас оно лучше.
